Question

Me ayudan a saber si esta igualdad es verdadera o falsa si es posible con el proceso por favor

Answer 1

Respuesta:

Esa igualdad es FALSA

Explicación paso a paso:

Factorizamos el numerador. Para hacerlo realizamos la siguiente sustitución de variable: $y^{2}=x$ y posteriormente, recuperamos el valor inicial. Dejamos de lado temporalmente al denominador. Luego lo reasumimos.

$4x^{2}-15x-4$ es un trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c$

Multiplicamos y dividimos la expresión, por 4, que es el coeficiente principal:

$\frac{4(4x^{2}-15x-4)}{4}$

Aplicamos la propiedad distributiva pero dejamos indicada la operación en el segundo término, así:

$\frac{16x^{2}-15(4x)-16}{4}$

Expresamos el primer término del numerador como el cuadrado de lo que quedó en el paréntesis en el segundo término, así:

$\frac{(4x)^{2}-15(4x)-16}{4}$

Hacemos otra sustitución de variable para que 4x quede temporalmente como n y así facilitar la operación. Posteriormente, unos pasos más adelante, restituiremos la variable inicial:

$\frac{n^{2}-15n-16}{4}$

Con lo que hicimos logramos que el numerador quede como un trinomio de la forma: $x^{2}+bx+c$

Factorizamos ese trinomio. Para hacerlo, armamos dos factores entre paréntesis, en cada uno de los cuales ponemos como primer término a la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Definimos signos: para el primer paréntesis es menos porque multiplicamos los signos del primer y segundo término del trinomio. Para el segundo paréntesis es más, porque multiplicamos los signos del segundo y tercer términos del trinomio. Así:

$(n-...)(n+...)$

Ahora buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados nos den menos 16 y sumados nos den menos 15.

Esos números son -16 y 1. Los ubicamos en los paréntesis, así:

$(n-16)(n+1)$  Ahora completamos la expresión con el denominador:

$\frac{(n-16)(n+1)}{4}$

Ahora deshacemos el segundo cambio de variable que realizamos. Entonces donde aparezca n lo cambiamos por 4x

$\frac{(4x-16)(4x+1)}{4}$

Sacamos factor común donde sea posible:

$\frac{4(x-4)(4x+1)}{4}$

Cancelamos 4 factor con 4 denominador:

$(x-4)(4x+1)$

Ahora deshacemos el primer cambio de variable. Donde aparezca x lo sustituimos por  $y^{2}$

$(y^{2}-4)(4y^{2}+1)$

Observemos que de esos dos binomios que hemos obtenido, el primero es factorizable porque es una diferencia de cuadrados. El segundo queda tal como está.

$(y^{2}-4)=(y+2)(y-2)$

O sea que el numerador de la fracción inicialmente planteada por el problema queda así:   $(4y^{2}+1)(y+2)(y-2)$

Ya que tenemos listo el numerador, factoricemos ahora el denominador de la fracción inicialmente planteada.

$y^{2}-8y-20=(y-10)(y+2)$

Lo que hicimos fue aplicar el mismo procedimiento cuando factorizamos el anterior trinomio de la forma $x^{2}+bx+c$

Ahora que ya hemos factorizado numerador y denominador, reescribamos la fracción para ver qué factores podemos eliminar:

$\frac{(4y^{2}+1)(y+2)(y-2)}{(y-10)(y+2)}$

Podemos eliminar y+2

La respuesta final es:

$\frac{(4y^{2}+1)(y-2)}{y-10}$

la cual es diferente a la igualdad planteada en el problema.