la hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 17 cm y un cateto mide 7cm mas que el otro. calcula la longitud de sus catetos
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47
El dibujo sería así.
Ahora, para sacar lo que pide, siendo un triángulo rectángulo hay que usar el teorema de Pitágoras:
a²= b²+c²
En este caso tenemos:
a= 17cm
b= x+7 cm
c= x cm
17²= (x+7)²+(x)²
Tenemos una identidad notable (x+7)² la cual se hace con la siguiente fórmula:
a²+b²+2ab= (x)²+(7)²+2•x•7= x²+14x+49
Entonces en la fórmula se nos quedaría:
289= x²+14x+49+x²
Despejamos la ecuación:
0= 2x²+14x-240
Para que sea un poco más fácil podemos simplificar la ecuación y dividirla entre dos:
x²+7x-120=0
Por método de la ecuación de 2° grado, hacemos lo que nos ha salido:
![x = \frac{ - b + - \sqrt{b^{2} - 4ac } }{2a} \\ x = \frac{ - 7 + - \sqrt{49 - 4 \times 1 \times ( - 120)} }{2 \times 1} \\ x = \frac{ - 7 + - 23}{2} \\ \\ x = \frac{ - 7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8cm \\ x = \frac{ - 7 - 23}{2} = \frac{ - 30}{2} = - 15(no \: valido) x = \frac{ - b + - \sqrt{b^{2} - 4ac } }{2a} \\ x = \frac{ - 7 + - \sqrt{49 - 4 \times 1 \times ( - 120)} }{2 \times 1} \\ x = \frac{ - 7 + - 23}{2} \\ \\ x = \frac{ - 7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8cm \\ x = \frac{ - 7 - 23}{2} = \frac{ - 30}{2} = - 15(no \: valido)](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D+++%5Cfrac%7B+-+b+%2B++-++%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D+-+4ac+%7D+%7D%7B2a%7D+%5C%5C+x+%3D++%5Cfrac%7B+-+7+%2B++-++%5Csqrt%7B49+-+4+%5Ctimes+1+%5Ctimes+%28+-+120%29%7D+%7D%7B2+%5Ctimes+1%7D++%5C%5C+x+%3D++%5Cfrac%7B+-+7+%2B++-+23%7D%7B2%7D++%5C%5C++%5C%5C+x+%3D++%5Cfrac%7B+-+7+%2B+23%7D%7B2%7D+%3D++%5Cfrac%7B16%7D%7B2%7D+%3D+8cm++%5C%5C+x+%3D++%5Cfrac%7B+-+7+-+23%7D%7B2%7D+%3D++%5Cfrac%7B+-+30%7D%7B2%7D+%3D++-+15%28no+%5C%3A+valido%29+)
Como los lados no pueden dar negativos, cogemos la x que da positivo, en este caso x=8 cm.
→Solución:
a= 17cm
b= x+7= 8+7= 15cm
c=x= 8cm
Ahora, para sacar lo que pide, siendo un triángulo rectángulo hay que usar el teorema de Pitágoras:
a²= b²+c²
En este caso tenemos:
a= 17cm
b= x+7 cm
c= x cm
17²= (x+7)²+(x)²
Tenemos una identidad notable (x+7)² la cual se hace con la siguiente fórmula:
a²+b²+2ab= (x)²+(7)²+2•x•7= x²+14x+49
Entonces en la fórmula se nos quedaría:
289= x²+14x+49+x²
Despejamos la ecuación:
0= 2x²+14x-240
Para que sea un poco más fácil podemos simplificar la ecuación y dividirla entre dos:
x²+7x-120=0
Por método de la ecuación de 2° grado, hacemos lo que nos ha salido:
Como los lados no pueden dar negativos, cogemos la x que da positivo, en este caso x=8 cm.
→Solución:
a= 17cm
b= x+7= 8+7= 15cm
c=x= 8cm
Adjuntos:
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5
La longitud de los catetos del triangulo son 15 y 7 centímetros.
A partir del enunciado vamos a escribir un ecuación que nos permita resolver le problema. Llamaremos C a la longitud del menor cateto
¿Cual es el Teorema de Pitagoras?
H^2 = C1^2 + C2^2
Entonces podemos escribir
(17 )^2 = C^2 + (C + 7)^2
289 = C^2 + C^2 + 14C + 49
2C^2 + 14C - 240 = 0
C^2 + 7C - 120 = 0
Aplicamos la resolvente y hallamos
C = 8
C = - 15
Nos quedamos con el valor positivo, C = 8. Ahora hallamos el cateto mayor
C mayor = 8 + 7 = 15 cm
Por lo tanto, los catetos miden 7 cm y 15 cm.
Si quieres saber más sobre hipotenusa
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