Question

Encuentra la ecuación de la parábola generada por: El foco F(2,1) y la directriz x-2y+14=0

Answer 1

Ecuacion de una parabola. La ecuacion es $5x^{2}+y^{2}+4xy-48x+46y-171=0$.

1. Se toma en cuenta que el vertice de la parabola esta ubicado en la mitad entre el foco y la directriz.
2. La directriz es perpendicular al eje focal. Con el apoyo de la grafica podemos ver la ecuacion de la directriz que es la linea recta azul, el punto B es el foco y el vertice esta en el punto D que esta en la mitad entre C y B.
3. Por lo que decimos que d1 es la distancia entre C y D, d2 es la distancia entre D y B, y estas distancias son las mismas.
4. d1=$d_{1}= \frac{x-2y+14}{\sqrt{5} }$ y $d_{2}=\sqrt{(x-x1)^{2}+(y-y1)^{2}  }$ donde (x1,y1) es el punto del foco (2,1).
5. Igualando d1=d2 $\frac{(x-2y+14)^{2} }{5} =(x-2)^{2}+(y-1)^{2}$
6. $\frac{x^{2}-4xy+4y^{2}+28x-56y+196  }{5}=x^{2} -4x+4+y^{2} -2y+1$
7. Obtenemos nuestra ecuacion $5x^{2} +y^{2} +4xy-48x+46y-171=0$ Ver la grafica.