Question

Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba. Debe tener
125 m
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de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de $ 20.000 por m2
, y el del fondo
es de $40.000 por m
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, ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo? Y
¿Cuál el costo mínimo?

Answer 1

 Las dimensiones para que el costo sea mínimo son : x = 5m y  y = 5 m.

Las dimensiones para que el costo sea mínimo se calculan mediante  la aplicación de las derivadas, con el previo planteamiento de la ecuación del volumen , como se muestra a continuación:

  Deposito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba.

    V = 125 m³

  Costo de las caras laterales : $ 20.000 por m2

  Costo del fondo : $ 40.000 por m2

   x=?  y=?  

   Costo =? mínimo

       V = x*x*y = x²*y

         V = x²y

       125m³ = x²y     se despeja y :

        y = 125/x²

        Costo= $20.000* (4xy) + $40.000*(x²)

         Costo en función de x:

           C(x)= $20.000*(4*x* 125/x²) + $40.000* ( x²)

          C(x)= 10⁷/x  + 40000x²

       Se deriva :

            C'(x)= -10⁷/x² + 80000x =0    y se despeja la x :

                      10⁷/x² = 80000x

                       10⁷/80000 = x³

                                   x³ = 125

                                   x = ∛125

                                  x = 5 m

              La segunda derivada es :

                  C''(x)= 10⁷*2x/x⁴ +80000

                   C''(x)= 2*10⁷/x³ +80000

                    C''(5)= 2*10⁷/(5)³ +80000= $240000

                     Es positivo,por lo tanto es el costo es mínimo.

 

                          y = 125/x²= 125m³/( 5m )²

                           y = 5 m

 Las dimensiones para que el costo sea mínimo son : x = 5m y  y = 5 m.