Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba. Debe tener
125 m
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de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de $ 20.000 por m2
, y el del fondo
es de $40.000 por m
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, ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo? Y
¿Cuál el costo mínimo?
Respuestas
Las dimensiones para que el costo sea mínimo son : x = 5m y y = 5 m.
Las dimensiones para que el costo sea mínimo se calculan mediante la aplicación de las derivadas, con el previo planteamiento de la ecuación del volumen , como se muestra a continuación:
Deposito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba.
V = 125 m³
Costo de las caras laterales : $ 20.000 por m2
Costo del fondo : $ 40.000 por m2
x=? y=?
Costo =? mínimo
V = x*x*y = x²*y
V = x²y
125m³ = x²y se despeja y :
y = 125/x²
Costo= $20.000* (4xy) + $40.000*(x²)
Costo en función de x:
C(x)= $20.000*(4*x* 125/x²) + $40.000* ( x²)
C(x)= 10⁷/x + 40000x²
Se deriva :
C'(x)= -10⁷/x² + 80000x =0 y se despeja la x :
10⁷/x² = 80000x
10⁷/80000 = x³
x³ = 125
x = ∛125
x = 5 m
La segunda derivada es :
C''(x)= 10⁷*2x/x⁴ +80000
C''(x)= 2*10⁷/x³ +80000
C''(5)= 2*10⁷/(5)³ +80000= $240000
Es positivo,por lo tanto es el costo es mínimo.
y = 125/x²= 125m³/( 5m )²
y = 5 m
Las dimensiones para que el costo sea mínimo son : x = 5m y y = 5 m.