Question

Cómo factorizo
(4x^(3/2)-2x^(1/2))^3
para que dé
(8x^(3/2))(2x-1)³
Dejo imágen de referencia​

Answer 1

En líneas generales, factorizar un polinomio es transformarlo en una multiplicación de elementos irreductibles (no pueden simplificarse mas). Entre las vias para lograr esto se encuentran la extracción del factor común y la aplicación de propiedades aritméticas como la propiedad distributiva.

Dicho esto, nos ocupamos de nuestro problema específico

Partimos de nuestra expresión base 4x^(3/2)-2x^(1/2)

Aplicamos la propiedad distributiva, la cual nos dice que:

El producto de un número por una suma es igual al producto de cada uno de los sumandos. En este caso tenemos dos sumandos así que aplicamos la propiedad de manera inversa

4x^(3/2)-2x^(1/2) = 2x^(1/2)((2x^(1/2) -1) Atención: aquí lo que hicimos fue sacar factor común 2x^(1/2) ya que  

(2x^(1/2))(2x^(1/2)) = 4x^(3/2) por propiedades de la multiplicación

Queda ahora elevar al cubo nuestra nueva expresión porque la original (de donde comenzó todo) lo está

(4x^(3/2)-2x^(1/2))^3 = (2x^(1/2))((2x^(1/2) -1)^3 de donde, por propiedades de la exponenciación en el producto ((A)(B))^n = (A)^n(B)^n

 

Así que nuestra expresión queda de la siguiente manera

(4x^(3/2)-2x^(1/2))^3 = (2(x)^(1/2))^3)((2x^(1/2) -1)^3  

4x^(3/2)-2x^(1/2))^3 = (8x^(3/2))((2x^(1/2) -1)^3 que es a lo que queríamos llegar .