Question

¿Cuantos polígonos cumplen que al aumentar el numero de lados en 2k, su numero de diagonales aumenta en 13k?

Answer 1

Hay 5 polígonos que cumplen las proposición, estos polígonos son heptágono, hexágono, pentágono, cuadrado y triangulo. Que al aumentar sus lados en 2k donde k debe ser 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, se cumple que sus diagonales aumenta en 13k

Explicación paso a paso:

El número de diagonales "D" de un polígono de "N" lados es:

$D= \frac{N(N-3)}{2}$

Quiero que al aumentar su número de lados en 2k sus diagonales aumenten en 13k

$D+13k= \frac{(N+2k)*(N+2k-3)}{2}$

Sustituyendo

$\frac{N(N-3)}{2}+13k= \frac{(N+2k)*(N+2k-3)}{2}$

$\frac{N(N-3)+26k}{2}= \frac{(N+2k)*(N+2k-3)}{2}$

$\frac{N^{2}-3N+26k}{2}= \frac{N^{2}+2Nk-3N+2Nk+4k^{2}-6k}{2}= \frac{N^{2}+4Nk-3N+4k^{2}-6k}{2}$

$N^{2}-3N+26k= N^{2}+4Nk-3N+4k^{2}-6k$

$32k-4k^{2}=4Nk$

$32-4k=4N$

$8-k=N$

Ahora N debe ser positivo y mayor a 3 (pues un polígono tiene al menos 3 lados). Por lo que k no puede ser mayor o igual que 6 y  para k =1, 2, 3, 4, 5 tenemos que para N = 7, 6, 5, 4, 3 respectivamente s e cumple la proposición.  

Hay 5 polígonos que cumplen las proposición, estos polígonos son heptágono, hexágono, pentágono, cuadrado y triangulo. Que al aumentar sus lados en 2k donde k debe ser 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, se cumple que sus diagonales aumenta en 13k