en un conjunto de 30 personas, 16 estudiaron en la universidad a, 11 en la universidad b y 16 en la universidad c, si solo 2 personas estudiaron en las universidades A,By C. ¿cuantos estudiaron exactamente en una de estas universidades,considerando que todas las personas estudiaron al menos en una de dichas universidades?
Respuestas
19 personas estudiaron en exactamente una universidad.
Notación: al cardinal o tamaño de un conjunto A se le denota como |A|
En probabilidad y teoria de conjunto, si tenemos tres conjuntos A,B,C se cumple:
|A U B U B| = |A|+|B|+|C| - |A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
Sea A el conjunto de los que estudiaron en la universidad a
Sea B el conjunto de los que estudiaron en la universidad b
Sea C el conjunto de los que estudiaron en la universidad c
Como datos tenemos:
|A U B U B| = 30
|A|= 16
|B| = 11
|C|= 16
|A∩B∩C| = 2
Por lo tanto:
30= 16+11+16 - |A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+2
30= 45 - |A∩B|-|B∩C|-|C∩A|
|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|= 15 (***)
Ahora los que estudiaron solo en la universidad A, sera los que estudiaron en la universidad A menos lo que estudiaron en la B y en la C que estudiaron en la A, a esto debemos sumarle los que estudiaron en las tres pues se lo restamos dos veces. De manera semenjante para B y C:
Solo A: |A|-|A∩B|-|C∩A|+|A∩B∩C| = 16-|A∩B|-|C∩A|+2 = 18-|A∩B|-|C∩A|
Solo B: |B|-|A∩B|-|C∩B|+|A∩B∩C| = 11-|A∩B|-|C∩B|+2 = 13-|A∩B|-|C∩B|
Solo C: |C|-|A∩C|-|C∩B|+|A∩B∩C| = 16-|A∩C|-|C∩B|+2 = 18-|A∩C|-|C∩B|
Sumo las tres cantidades para saber cuantas estudiaron en una sola universidad. Una sola U:
18-|A∩B|-|C∩A|+13-|A∩B|-|C∩B|+18-|A∩C|-|C∩B|
= 49-2|A∩B|-2|B∩C|-2-|C∩A| = 49-2(|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|)
Sustituimos el resultado de (***)
49-2(|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|) = 49-2*15 = 49-30 = 19
Por lo tanto 19 personas estudiaron en exactamente una universidad.