Question

X = < 1,3,5 > ; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2>
Agrupe estos tres vectores de un espacio vectorial, en una matriz y calcule:
a) El determinante y concluya si hay dependencia o independencia lineal.
b) Halle el rango de la matriz e interprete la dependencia e independencia
c) Plantee el sistema de ecuaciones necesario para respaldar la misma conclusión del numeral (a), usando el método de Gauss Jordán.

Answer 1

dados los vectores:

$\begin{cases}x=(1,3,5)\cr y=(2,4,5)\cr z=(1,0,2)\end{cases}$

la matriz $(A)$:

$\begin{pmatrix} 1&3&5\\ </p><p>2&4&5\\</p><p>1&0&2\end{pmatrix}$

entonces su determinante es:

$\begin{vmatrix}1&3&5\\</p><p>2&4&5\\</p><p>1&0&2\end{vmatrix}$

calculando la determinate:

$1(4\times 2-0\times 5)-3(2\times 2-1\times 5)+5(2\times 0-1\times 4)\\ |A|=-9$

a)como el determinante dio distinto de cero entonces los 3 vectores son línealmente independiente.

b) el rango de la matriz es la cantidad de vectores línealmente independiente, pero como el determinante dio distinto de cero se puede asegurar de que la matriz tiene rango 3.

c) usando gauss-jordan en la matriz:

tomando como elemento del primer pivote el $1(a_{11}$

$\begin{pmatrix}1&3&5\\ 0&-2&-5\\ 0&-3&-3\end{pmatrix}$

se multiplica $-1$, la segunda,tercera fila y se multiplica por $\frac{1}{3}$ la tercera fila.

$\begin{pmatrix}1&3&5\\ 0&2&5\\ 0&1&1\end{pmatrix}$

se toma como segundo elemento de pivote el $(a_{22}$

$\begin{pmatrix}2&0&-5\\ 0&2&5\\ 0&0&-3\end{pmatrix}$

tomando como tercer elemento el $-3a_{33}$

$\begin{pmatrix}-6&0&0\\\ 0&-6&0\\ 0&0&-3\end{pmatrix}$

no se puede tomar más elementos, quedaron tres vectores entonces son línealmente independientes, entonces son de rango 3