Question

Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas f(x)=-x^3+4x^2-3x+1 y las verticales x=0 y x=3 Representar el sólido de revolución en Geogebra y anexar un pantallazo

Answer 1

El volúmen del sólido de revolución que se tiene al rotar el área encerrada entre las curvas f(x) = -x³+4x²-3x+1 y las verticales x=0 y x=3 es V = (99/5)π

De los datos del problema sabemos que

f(x) = -x³+4x²-3k-1

x = 0

x = 0

Forman un área que al ser rotada alrededor del eje generan un sólido de revolución. Hay dos maneras de abordar este problema

(a) Tomar para los cálculos diferenciales dy, en cuyo caso habría que replantear la función para que presente a la variable y como la variable independiente.

(b) Tomar para los cálculos dx en cuyo caso, no habría que hacerle ningún cambio a la presentación de la curva f(x)

 

De las dos posibilidades la mas sencilla es la (b). De manera tal, que seguiremos ese camino

 

En consecuencia, la formula para calcular este volumen bajos estas condiciones es

V = 2π∫x(f(x)dx evaluada entre los puntos x=0 y X=3. Entonces nos queda

V = 2π∫x(-x³+4x²-3x+1)dx

V = 2π∫(-x⁴+4x³-3x²+x)dx

V = 2π(-(1/5)x⁵+(4/4)x⁴-(3/3)x³+(1/2)x²) evaluada entre los puntos x=0 y X=3

Al evaluar en el punto x = 0

V(0) = 2π(-(1/5)(0)⁵+(4/4)(0)⁴-(3/3)(0)³+(1/2)(0)²)

V(0) = 0

Al evaluar en el punto x = 3

V(3) =2π(-(1/5)(3)⁵+(4/4)(3)⁴-(3/3)(3)³+(1/2)(3)²)

V(3) = 2π(-(1/5)(243)+(4/4)(81)-(3/3)(27)+(1/2)(9))

V(3) = 2π(-243/5+81-27+9/2) = 2π(99/10)

V(3) = (99/5)π

Concluyendo

V = V(3) - V(0)

V = (99/5)π - 0

Con lo que V = (99/5)π que es la respuesta que estabámos buscando

Se adjunto una gráfica geoGebra en donde se distingue el área sometida a rotación

Para ampliar conocimientos sobre este tema se puede consultar https://brainly.lat/tarea/11136646