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Explicación paso a paso:
Para que sea divisible tanto por 7 como por 9, lo ha de ser por su producto que es 9×7 = 63
Por lo tanto hemos de buscar números múltiplos de 63 que se encuentren dentro de ese intervalo de 600 a 800.
La forma rápida de encontrar el primer número (el menor) que cumpla con ser múltiplo de 63 y que esté dentro del intervalo es dividir:
600 ÷ 63 = 9,523809 (periódico)
Ello hace deducir que el primer número que cumple la condición sale del producto:
63 × 10 = 630 pero no nos vale porque NO es impar.
Avanzamos sumando 63 a ese primer número y obtengo el 630+63 = 693 que sí cumple todas las condiciones ya que también es impar.
Si ahora sumo de nuevo 63 unidades a 693 me saldrá un número par y luego otro impar y así sucesivamente, por tanto, para saber los impares debo sumar el doble de 63 que es 126, así que tendré:
693 + 126 = 819 que no me vale porque ya se sale del intervalo.
Así pues, el único número que cumple todas las condiciones es 693
Saludos.