X = < 1,3,5 > ; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> Agrupe estos tres vectores de un espacio vectorial, en una matriz y calcule: a) El determinante y concluya si hay dependencia ó independencia lineal. b) Halle el rango de la matriz e interprete la dependencia e independencia c) Plantee el sistema de ecuaciones necesario para respaldar la misma conclusión del numeral (a), usando el método de Gauss Jordán.
Respuestas
La matriz formada por los vectores X, Y y Z es linealmente independiente de Rango 3.
Explicación paso a paso:
Agrupando los vectores obtenemos la siguiente matriz:
| 1 3 5 |
| 2 4 5|
| 1 0 2 |
a) El determinante y concluya si hay dependencia ó independencia lineal.
Δ= ( 8+15+0)-(20+12) = -9
No hay dependencia lineal debido a que el determinante es diferente de cero.
b) Halle el rango de la matriz e interprete la dependencia e independencia
| 1 3 5 |
| 2 4 5|
| 1 0 2 | ----------> Tiene rango 3, ya que ninguna de sus filas son linealmente dependientes.
c) Plantee el sistema de ecuaciones necesario para respaldar la misma conclusión del numeral (a), usando el método de Gauss Jordán.
| 1 3 5 |
| 2 4 5|
| 1 0 2 |-----------> F3= F3-F1
| 1 3 5 |
| 2 4 5|------------> F2= F2-2F1
| 0 -3 -3|
| 1 3 5 |
| 0 -1 -5|-----> F2= -F2
| 0 -3 -3|-----> F3 = -F3
| 1 3 5 |
| 0 1 5|
| 0 3 3|---------> F3 = F3-3F2
| 1 3 5 |
| 0 1 5|
| 0 0 -12|----> F3= -1/12 F3
| 1 3 5 |
| 0 1 5|
| 0 0 1| -----------> todas las filas son linealmente independientes.