Question

lim x → 0 (ln(e+x))^cotx

Answer 1

Respuesta:

1.44466

Explicación paso a paso:

$\lim_{x \to 0} [ln(e+x)]^{cot(x)}$

Si evalúas el límite te da:

$\lim_{x \to 0} [ln(e+0)]^{cot(0)}$

$\lim_{x \to 0} [ln(e)]^{cot(0)}$

$\lim_{x \to 0} 1^{cot(0)}$

Como cot(0) no está definido entonces vamos a decir cotangente en términos de seno y coseno

$\lim_{x \to 0} 1^{\frac{cos(0)}{sen(0)}}$

$\lim_{x \to 0} 1^{\frac{1}{0}}$

Como esto es un límite, el cero que está en el denominador se interpreta como algo muy pequeño así que una cantidad sobre algo muy pequeño tiende a infinito y nos queda:

$\lim_{x \to 0} 1^{\infty}$

Lo que nos queda es una indeterminación. Aunque no lo parezca 1 elevado infinitamente no es como creemos intuitivamente que da 1. Hay varias formas de resolverlo, yo usaré una que es aplicándole una transformación y quedaría así:

$e^{\lim_{x \to 0} cot(x)(ln(e+x)-1)}$

Con esta nueva transformación, vuelves a evaluar el límite:

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{cos(0)}{sen(0)}(ln(e+0)-1)}$

$e^{\lim_{x \to 0} \infty*0}$

Cero por infinito es otra indeterminación, pero al menos ya quitamos la que había antes. Cero por infinito se resuelve más fácil, solo debes expresar algún término de otra forma sin alterarlo, en este caso, usaré el cotangente. Lo que haremos es "pasarlo a dividir dos veces" (No es en realidad lo que sucede, pero no me acuerdo formalmente como se le dice):

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{cot(x)}}(ln(e+x)-1)}$

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{ln(e+x)-1}{\frac{sen(x)}{cos(x)}}$

Esta forma de expresarlo hace que la indeterminación se vuelva cero sobre cero, lo que es aún mejor porque ya solo es aplicar L'Hopital:

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e+x}}{\frac{cos^{2}(x)+sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}}}$

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e+x}}{\frac{1}{cos^{2}(x)}}}$

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{cos^{2}(x)}{e+x}}$

Ahora sí, vuelves a evaluar y te da:

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{cos^{2}(0)}{e+0}}$

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{e}}$

$e^{\frac{1}{e}}$

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