Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas f(x)=-x^3+3x y g(x)=x^2. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas.
Respuestas
Respuesta:
Hola Tinez1990. La respuesta a tu pregunta es:
El área encerrada entre las curvas f(x) = -x³+3x y g(x) = x² es A = 6,084
Explicación paso a paso:
Veamos primero las condiciones del problema y las gráficas de las áreas
f(x) = -x³ + 3x
g(x) = x²
Lo debemos hacer primero es ubicar los puntos de corte de ambas gráficas. Para esto, igualamos ambas ecuaciones
-x³ + 3x = x²
-x³ -x² + 3x = 0 o lo que es lo mismo
x³ + x² -3x = 0 trabajamos un poco la ecuación
x(x² + x - 3) =0 esta ecuación tiene tres soluciones
x = -2,3
x = 0
x = 1,3
que son los tres puntos de integración que se usarán
Por otro lado, al ver la gráfica que se anexa, se nota que al cortarse tres veces las curvas, generan dos areas. Por lo tanto:
A = A1 + A2 en donde
A1 = ∫(g(x) - f(x))dx = ∫(x²+x³-3x)dx evaluada en x=-2,3 y x=0
A2 = ∫(f(x)-g(x)dx = ∫(-x³-x²+3x)dx evaluada en x=0 y x=1,3
Resolviendo ambas ecuaciones nos queda
A1 = x³/3 +x⁴/4 - 3x²/2 evaluada en x=-2,3 y x=0
A2 = -x⁴/4 +3x²/2-x³/3 evaluada en x=0 y x=1,3
Al hacer las evaluaciones nos queda
A1 = 4,995
A2 = 1,089
Con lo que
A = 4,995 + 1,089 = 6,084
Espero haberte ayudado
