Question

. Alguien me ayuda? Gracias de antemano ​

Answer 1

hola hice la a) ahorita te mando la b es mas laboriosa

saludos

Answer 2

Tarea:

Sea la función $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}$

a) Calcula $\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{1}{f(x)} \, dx$

b) Halla $\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{e} \dfrac{1}{f(x)}* \ln(x)\, dx$

Explicación paso a paso:

Primero tengamos claro que 1/f(x) es igual a:

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^{2}+4}} =\dfrac{x^{2}+4}{1}=x^{2}+4$

Luego:

$\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}+4\, dx= \displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\, dx+\displaystyle\int_{0}^{2} 4\, dx={\left \frac{ { x }^{3} }{3} \right|}_{0}^{2}+4{\left x \right|}_{0}^{2}=(\frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3})+4(2-0)$

Lo que finalmente es igual a 8/3+8 = 32/3

$\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{e} (x^{2}+4)* \ln(x)\, dx$

Para esta integral conviene calcular primero la indefinida y luego evaluar los límites:

Como hay un logaritmo lo más sensato es resolverla aplicando partes:

u = Ln(x)

du = 1/x dx

dv = (x²+4)

v = x³/3+4x

$\int (x^{2}+4)* \ln(x)\, dx \Rightarrow \ln(x)(\dfrac{x^{3}}{3}+4x)-\int (\dfrac{x^{3}}{3}+4x)(\frac{1}{x}) \,dx$

$\ln(x)(\dfrac{x^{3}}{3}+4x)-\int (\dfrac{x^{3}}{3}+4x)(\frac{1}{x}) \,dx=\ln(x)(\dfrac{x^{3}}{3}+4x)-\int (\frac{x^{2}}{3}+4)\,dx$

$\ln(x)(\dfrac{x^{3}}{3}+4x)- \int (\frac{x^{2}}{3}+4)\,dx=\ln(x)(\dfrac{x^{3}}{3}+4x)-[\int (\frac{x^{2}}{3})\,dx+\int 4\,dx]$

Las integrales resultantes son sencillas, solo recordemos que:

$\boxed{\int x^{k} \,dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}}\quad \boxed{\int kx \,dx=k*\frac{x^{2} }{2} }$

$={\left \ln { ( } x)(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } +4x)-(\frac { x^{ 3 } }{ 9 } +4x)=\ln {(} x)(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } +4x)-\frac{x^{3}}{9}-4x\right|}_{\frac{ 1 }{ e }}^{e}$

Evaluando los límites, queda:

$\ln(e)(\dfrac{e^{3}}{3}+4e)-\frac{e^{3}}{9}-4e-[\ln(1/e)(\dfrac{(1/e)^{3}}{3}+4(1/e))-\dfrac{(1/e)^{3}}{9}-4(1/e) ]$