Question

dados los puntos A(3,4,-5) Y B(1,-3,-2) DETERMINAR LOS COSENOS DIRECTORES DEL VECTOR A-2B
RESPUESTA
COSα:0,099
COSβ:0,9901
COSγ:-0,099

Answer 1

Lo primero que debemos hacer es calculas el vector que nos piden.

Lo llamaremos "C"

$C=A-2B$

$C=(3,4,-5)-2(1,-3,-2)$

$C=(3,4,-5)+(-2,6,4)$

$C=(3-2,4+6,-5+4)$

$C=(1,10,-1)$

Ahora sabemos que.

$A.B=|A||B|Cos(α)$

Si tenemos que queremos ver el ángulo que forma el vector con cada uno de los ejes entonces.

$cos(α)=\frac{AB}{|A||B|}$

Los vectores que son paralelos a los ejes son.

$i=(1,0,0) \\ </p><p>j=(0,1,0) \\ </p><p>k=(0,0,1)$

$A=(Ax,Ay,Az)$

Entonces para conocer el ángulo remplazamos el valor del vector A y los vectores canónicos (i,j,k).

$cos(α)=\frac{AB}{|A||B|}$

$|A| = \sqrt{ {Ax}^{2} + A {y}^{2} +A {z}^{2} }$

La magnitud de un vector canónico unitario es "1".

$cos(α)= \frac{(Ax,Ay,Az).(1,0,0)}{|A|(1)}$

$cos(α)= \frac{Ax(1) + Ay(0) + Az(0)}{ |A| }$

$cos(α)= \frac{Ax}{|A|}$

Y así para los demás ángulos.

$cos( \beta )= \frac{Ay}{|A|} \\ cos( \gamma )= \frac{Az}{|A|}$

Ya tenemos la ecuación para poder saber los ángulos.

Entonces.

$cos(α) = \frac{i.C}{ |C| }$

$cos(α) = \frac{(1,0,0).(1,10,-1)}{ \sqrt{( {1)}^{2} + ( {10)}^{2} + ( { - 1}^{2} )} }$

$cos(α) = \frac{(1)(1) + (0)(10) + 0( - 1)}{ \sqrt{1 + 100 + 1} }$

$cos(α) = \frac{1}{ \sqrt{102} }$

$cos(α) = 0.0990$

Ahora

cos(β)=j•(A-2B)/|A-2B|

cos(β)=(0,1,0)•(1,10,-1)/√(1²+10²+(-1)²)

cos(β)=10/√(1+100+1)

cos(β)=10/√(102)

cos(β)=0.9901

Ahora

cos(γ)=k•(A-2B)/|A-2B|

cos(γ)=(0,0,1)•(1,10,-1)/√(1²+10²+(-1)²)

cos(γ)=-1/√(1+100+1)

cos(γ)=-1/√(102)

cos(γ)=-0.0990

Esas serían las respuestas espero haberte ayudado.