Question

Fisica.
Resolver lo siguiente (2) :

Answer 1

Hola :D

Tema: Vectores Unitarios

Tarea: Se tiene dos vectores concurrentes $\vec{A}=2 \hat{i}-4 \hat{j}- \hat{k}$ y $\vec{B}=2 \hat{j}+8 \hat{k}$. Determina un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$.

Algo a aclarar: En el vector B, no se nos da a $\hat{i}$, así que en este caso dicho vector tendrá de coeficiente el 0.

Entrando ya de lleno recordemos de que dicho vector se encontrará de la siguiente forma: $u=\frac{AB}{\arrowvert AB \arrowvert}$

Donde el denominador lo calcularemos mediante matrices, y el denominador con una sencilla aplicación del Teorema de Pitágoras, tendremos que:

$A×B=\left[\begin{array}{ccc}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2&-4&-1\\0&2&8\end{array}\right]$

Esta se deberá resolver de la siguiente manera:

$AB= \hat{i}\left[\begin{array}{ccc}B&C\\E&F\end{array}\right] - \hat{j}\left[\begin{array}{ccc}A&C\\D&F\end{array}\right] + \hat{k}\left[\begin{array}{ccc}A&D\\B&E\end{array}\right]$

Entonces, solamente sustituimos:

$AB=\hat{i}\left[\begin{array}{ccc}-4&-1\\2&8\end{array}\right] + \hat{j}\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\0&8\end{array}\right] + \hat{k}\left[\begin{array}{ccc}2&-4\\0&2\end{array}\right]$

En las imágenes adjuntas se observa el proceso, al final nos queda de que:

AB = $-30 \hat{i}\ - 16 \hat{j}+4 \hat{k}$

Sólo nos falta encontrar la parte del denominador, la cual se obtendrá de la siguiente manera:

$\arrowvert AB \arrowvert =\sqrt{(-30)^{2}+(-16)^{2}+(4)^{2}   } \\\arrowvert AB \arrowvert =\sqrt{900+256+16}\\ \arrowvert AB \arrowvert =\sqrt{1172}}\\\arrowvert AB \arrowvert = 2\sqrt{293}$

Entonces tendremos:

$\vec{u}=\frac{-30 \hat{i}-16 \hat{j}+4 \hat{k}}{2\sqrt{293} }$

En este caso, plácidamente eliminamos el 2, dividiendo al numerador por él, entonces obtendremos:

$\frac{-15 \hat{i}-8 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{293} }$

Ahora, como dicha raíz afecta a toda la ecuación, la usamos como factor común, quedando:

$\frac{1}{\sqrt{293} } (-15 \hat{i}- 8 \hat{j}+2 \hat{k})$

Recordemos que en estos casos, el término $\hat{i}$ no se le acostumbra dejarlo como negativo, así que sacamos ese - 1, que multiplicará a la fracción, quedando de respuesta:

$\mathbf{D)}\boxed{-\frac{1}{\sqrt{293} } (15 \hat{i}+ 8 \hat{j}-2 \hat{j})}$