Question

Una prueba consta de 15 preguntas cada una con 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta, De cuantas maneras se puede responder la prueba de tal manera que:
A. 8 estén correctas
B. 10 estén correctas
C. Al menos 12 estén correctas
???

Answer 1

Tarea:

Una prueba consta de 15 preguntas cada una con 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. ¿De cuántas maneras se puede responder la prueba de tal manera que:

• A. 8 estén correctas
• B. 10 estén correctas
• C. Al menos 12 estén correctas?

Respuesta:

A.- 6.435 maneras.

B.-  3.003 maneras

C.-  576 maneras

Explicación paso a paso:

Para todas las opciones hay que usar el modelo combinatorio de COMBINACIONES puesto que el orden en que es escojan las preguntas de una elección concreta no importa para distinguirlas.

Para la opción A se toman:

COMBINACIONES DE 15 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 8 EN 8 (n)  

y su fórmula por factoriales es:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!} \\ \\ \\ C_{15}^8=\dfrac{15!}{8!*(15-8)!}=\dfrac{15*14*13*12*11*10*9*8!}{8!*7*6*5*4*3*2*1} =\dfrac{32432400}{5040} =6435$

Habría  6.435 maneras.

Para la opción B se toman:

COMBINACIONES DE 15 ELEMENTOS TOMADOS DE 10 EN 10

$C_{15}^{10}=\dfrac{15!}{10!*(15-10)!} =\dfrac{15*14*13*12*11*10!}{10!*5*4*3*2*1} =\dfrac{360360}{120} =3003$

Habría  3.003 maneras.

Para la opción C  hay que tener en cuenta que nos dice "al menos" y eso significa que habrá que ver las maneras que salen tomando 12 correctas, más las que salen tomando 13 correctas más las que salen tomando 14 correctas, más la manera única que sería que contestara las 15 correctamente.  Por tanto hay que usar la fórmula 3 veces y sumar los resultados.

$C_{15}^{12}=\dfrac{15!}{12!*(15-12)!}=\dfrac{15*14*13*12!}{12!*3*2*1} =\dfrac{2730}{6} =455\\ \\ \\ C_{15}^{13}=\dfrac{15!}{13!*(15-13)!}=\dfrac{15*14*13!}{13!*2*1} =\dfrac{210}{2} =105\\ \\ \\ C_{15}^{14}=\dfrac{15!}{14!*(15-14)!}=15$

Y como ya comenté, hay que añadir una combinación más que es en el caso en que conteste correctamente las 15 preguntas, por tanto aquí tendríamos un total de:

455 + 105 + 15 + 1 = 576 maneras.

Saludos.