Question

Sea V un conjunto no vacío, en el cual se definen dos operaciones llamadasadición y multiplicación por un escalar α, sea K un campo. Se dice que V es unespacio vectorial sobre K si las dos operaciones cumplen con:

Posibles respuestas

a)cinco axiomas


b) diez axiomas


c)tres axiomas


d)ninguna de las anteriores

Answer 1

b) Diez axiomas.

V es un espacio vectorial en el campo K si cumple con los siguientes axiomas:

Sean $u$, $v$, $w$ elementos de $V$. Y sean $c, \alpha ,\beta$ escalares, entonces:

1. Ley de Cierre: $u+v \in V$
2. Ley Conmutativa: $u+v=v+u$
3. Ley Asociativa: $u+(v+w)=(u+v)+w$
4. Existencia del Elemento Neutro: Existe $e \in V$  tal que $e+u=u+e=u, \forall u \in V$
5. Existencia del Elemento Inverso Aditivo: Existe $w \in V$ tal que $u+w=w+u=e$ Siendo $e$ el elemento neutro.
6. Ley de Composición externa: Si $\alpha \in \Re , u \in V$ entonces $(\alpha \cdot u) \in V$
7. Ley Distributiva: $\forall \alpha \in \Re , \forall u,v \in V$ entonces $\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v$
8. Propiedad Distributiva del producto de escalar por vector respecto a la suma de escalares: $\forall \alpha ,\beta \in \Re, u \in V$ entonces $(\alpha +\beta )\cdot u=\alpha \cdot u + \beta \cdot u$
9. Propiedad asociativa mixta: $\forall \alpha ,\beta \in \Re, u \in V$ entonces $\alpha \cdot (\beta \cdot u) = (\alpha \cdot \beta) \cdot u = \beta \cdot (\alpha \cdot u)$
10. Elemento neutro del Producto: $1 \cdot u=u, \forall u \in V$

Si $V$ cumple los 10 axiomas, entonces es un espacio vectorial.