Question

Doy 70 puntos

Encuentre el minimo global de f(x) = (x+a)^2+b sobre R; siendo a y b numeros reales y aplique el resultado a la funcion f(x) = x^2-4x+1

Answer 1

La derivada de

f'(x) = 2x+2a

igualamos a 0

2x+2a=0

x=-a

Aplicamos una segunda derivada a la función

f''(x) = 2

Como la función es positiva sabemos que es un mínimo

remplazamos en la función para obtener el valor de f(x) cuando x=-a y la coordenada del valor mínimo:

f(-a)=(-a+a)^2 +b

f(-a)=b

El punto mínimo es (-a,b)

Aplicamos en la función nueva:

f(x)=x^2 - 4x + 1

si factorizamos

f(x) = (x-2)^2 -3

reemplazando por similitud, tenemos:

b = -3

a = -2

x = 2

el punto mínimo es (2,-3)

Answer 2

Vamos a expandir el binomio.

f(x)=(x+a)²+b

f(x)=x²+2xa+a²+b

Ahora vamos a agrupar por grado cada término.

f(x)=x²+2ax+(a²+b)

Ahora vamos a derivar.

$f(x) = {x}^{2}+2ax+({a}^{2} +b)$

$\frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}({x}^{2}+2ax+{a}^{2}+b)$

$\frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}( {x}^{2})+\frac{d}{dx}(2ax )+\frac{d}{dx}({a}^{2}+b))$

$\frac{df(x)}{dx}=2x+2a+0$

Teniendo la derivada de la función podemos igualar a cero ya que la función cuando tiene un máximo o un mínimo la pendiente de la recta tangente es cero.

$0=2x+2a+0$

Ahora procedemos a encontrar los puntos críticos de la función despejando la variable "x"

$0=2x+2a\\2x=-2a\\x=\frac{-2a}{2}\\x=-a$

Ya teniendo el punto crítico veremos si es un máximo o un mínimo con el criterio de la segunda derivada.

Calculamos la segunda derivada.

$\frac{df(x)}{dx}=2x+2a\\\frac{ {d}^{2}f(x)}{d {x}^{2} }=\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(2a=\\\frac{{d}^{2}f(x)}{d {x}^{2}}=2$

Cómo la segunda derivada es positiva nos indica que en ese punto la función es cóncava hacia arriba por lo cual el valor de "x" que encontramos corresponde a un mínimo, y como es el único punto crítico de trata de un mínimo global.

Ahora lo que debemos hacer es evaluar el punto "x" en la función original.

$f(x)={x}^{2}+2ax+({a}^{2}+b)$

$f(-a)={(-a)}^{2}+2a(-a)+({a}^{2}+b)$

$f(-a)=b$

Ahora sabemos que las coordenadas del punto mínimo son

Pm=(-a,b)

Para aplicarlo a la función que tenemos vamos a tener que acomodar la función de la forma en que nos la dan al principio.

f(x)=x²-4x+1

f(x)=x²-4x+4+(1-4)

f(x)=(x-2)²-3

Lo que hice fue completar el cuadrado, que no lo explicaré por qué sino se hará muy larga la explicación.

Ahora comparemos ecuaciones.

f(x)=(x-2)²-3

f(x)=(x+a)²+b

a=-2

b=-3

Coordenada del punto mínimo.

Pm=(-a,b)

Pm=(-(-2),-3)

Pm=(2,-3)

Esa sería la solución de tu ejercicio, te dejo la gráfica de la función para que veas que efectivamente el punto mínimo global se encuentra en esa coordenada.

Nota: Si te piden el valor del mínimo entonces puedes reportar

Pm=-3

Qué sería la coordenada en "y"

Si te piden la coordenada puedes reportar

Pm=(2,-3)