Question

Dentro de los tipos de software existentes están los compiladores. Los cuales dentro de su función principal es convertir las líneas de código de un lenguaje de programación de alto nivel a uno de más bajo nivel. Un software compilador X realiza dicha función a una velocidad dada por la expresión v(t)=te^t, donde v(t) es la velocidad de conversión en líneas por segundo y t es el tiempo. Calcule la ecuación general que describa las líneas transformadas por el compilador X, en cualquier intervalo de tiempo. Calcule la cantidad de líneas transformadas por el compilador X, entre 2 y 3 segundos.

Answer 1

Respuesta:

$x(t)=te^{t}-e^{t}+1$

Entre 2 y 3 segundos, el compilador X transforma aproximadamente 21 líneas de código

Explicación:

Digamos que cantidad de líneas viene representado por x, entonces un cambio de x dado por un cambio en el tiempo es igual a la velocidad de conversión en líneas por segundo. Expresado matemáticamente sería así:

$v(t)=\frac{dx}{dt}$

Luego, ya nos dicen la expresión v(t) por tanto la ecuación quedaría:

$te^{t}=\frac{dx}{dt}$

Con esta ecuación que nos queda solo es necesario pasar el dt a multiplicar al otro lado de la ecuación e integrar a ambos lados:

$te^{t}dt=dx$

$\int\limits {te^{t}} \, dt=\int\limits {dx}$

$\int\limits {te^{t}} \, dt=x(t)$

La integral que nos queda se resuelve por integración por partes (te la dejo a ti), pero su solución ya se encuentra en las tablas de integrales y queda así:

$te^{t}-e^{t}+C=x(t)$

La C que queda es una constante de integración, la cual tenemos que hallar usando lógica. Lo lógico es que en el tiempo 0 hallan 0 líneas de código convertidas, porque en sí el compilador no ha iniciado entonces evaluamos la ecuación en t=0 esperando un resultado de 0

$x(0)=0=0*e^{0}-e^{0}+C$

$0=0*1-1+C$

$0=-1+C$

$1=C$

Así obtenemos que C = 1 y finalmente tenemos nuestra ecuación general:

$x(t)=te^{t}-e^{t}+1$

Esa ecuación nos dice cuántas líneas ha transformado el compilador X en cualquier intervalo de tiempo. Ahora, si queremos saber la cantidad de líneas transformadas entre 2 y 3 segundos solo integramos la expresión entre estos límites:

$\int\limits^3_2 {te^{t}-e^{t}+1} \, dt$

$\int\limits^3_2 {te^{t}} \, dt-\int\limits^3_2 {e^{t}} \, dt+\int\limits^3_2 {1} \, dt$

$[te^{t}-e^{t}]_{2,3} -[e^t]_{2,3}+[t]_{2,3}$

$[3e^{3}-e^{3}-2e^{2}+e^{2}]-[e^{3}-e^{2}]+[3-2]$

$[2e^{3}-e^{2}]-e^{3}+e^{2}+1$

$2e^{3}-e^{2}-e^{3}+e^{2}+1$

$e^{3}+1$