Question

1. Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la función
f(x)=x³-3x²-x+5 en el punto A=(3,2).

2. Calcula la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función f(x)=3x²-2x+9 por los puntos de abscisa x=0 y x=2, y escribe la ecuación de dicha recta.

3. En el movimiento de un proyectil viene dado por la siguiente ecuación:
f(x)=5+3t-4,9t², donde x es la posición en metros y t es el tiempo en segundos. Calcula:
a) La velocidad para t=0 s.
b) La velocidad para t=2 s.
c) La velocidad en cualquier punto.

Answer 1

1.

$f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+5$ en el punto A=(3,2)

Para obtener la ecuacion de la recta tangente necesitamos de un punto y su pendiente, y para obtener la pendiente hay que derivar la funcion inicial.

$f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+5\\\\f'(x)=3x^{2}-6x-1$

Como A=(3,2) entonces x=3:

$f'(x)=3x^{2}-6x-1\\\\f'(3)=3(3)^{2}-6(3)-1=3(9)-18-1=27-19=8$

Asi la pendiente m=8.

Entonces la ecuacion de la tangente es:

$y-y_1=m(x-x_1)\\\\y-2=8(x-3)\\\\y=8x-24+2\\\\y=8x-22$

luego

$(m_1)(m_2)=-1\\\\(8)(m_2)=-1\\\\m_2=-\frac{1}{8}$

Esa es la pendiente de la normal, por tanto su ecuacion es:

$y-y_1=m(x-x_1)\\\\y-2=-\frac{1}{8}(x-3)\\\\y=-\frac{x}{8}+\frac{3}{8}+2\\\\y=-\frac{x}{8}+\frac{19}{8}$

2.

con x=0 y x=2, evaluamos en la funcion:

$f(0)=3(0)^{2}-2(0)+9=9\\\\f(2)=3(2)^{2}-2(2)+9=12-4+9=17$

Entonces la recta secante pasa por los puntos (0,9) y (2,17)

Ahora calculamos la pendiente.

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{17-9}{2-0}=\frac{8}{2}=4$

Entonces la ecuación de la secantes es:

$y-17=4(x-2)\\\\y=4x-8+17\\\\y=4x+9$

3.

El movimiento del proyectil esta dado por la ecuacion f(x)=5+3t-4,9t² (creo que se te fue una coma (,) asi que no se como es la ecuacion) pero lo unico que tienes que hacer es derivar la funcion y ya despues evaluar en t=0, t=2 (en la funcion ya derivada obvio) y ps para la velocidad en cualquier punto estara dada por la funcion ya derivada.

:)