Solución a las integrales.

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Respuesta dada por: jesusreidtpdlei4
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a)  lnx.r + c

b) (1/2).ln(x² + 1) + c

c) ∫ sen²(u) du desde -π/2 a π/2 es igual a π/2

Explicación paso a paso:

a) ∫ lnx dr      

el diferencial indica la variable de integración por lo tanto lnx es ó actúa como una constante, es decir

∫ lnx dr = lnx ∫ dr = lnx.r + c

b) ∫ x/(x² + 1) dx

puede ser resuelta empleando el método de sustitución, esto seria

variable u = x² + 1    entonces   du/dx= 2x   implicaría que  du = 2x dx

como ya se dispone de x en el numerador se va a multiplicar y a dividir por 2 para construir el diferencial de u  (du)

∫ x/(x² + 1) dx = ∫ 2x/2(x² + 1) dx = ∫ 2xdx/2(x² + 1) = (1/2) ∫ 2xdx/(x² + 1)

= (1/2) ∫ du/u se integra  

= (1/2).lnu + c = (1/2).ln(x² + 1) + c

c) primero se va a resolver la ∫ sen²(u) du de forma indefinida

por trigonométria se sabe que

cos(2u) = cos²(u) - sen²(u) = 1 - sen²(u) - sen²(u) = 1 - 2sen²(u)

si se despeja sen²(u) se obtiene

sen²(u) = (1 - cos(2u))/2  

se reemplaza esta nueva expresión en el integrando, entonces

∫ sen²(u) du = ∫ (1 - cos(2u))/2 du = ∫ du/2 - ∫ (cos(2u)/2) du

= (1/2) ∫ du - (1/2) ∫ cos(2u) du

la integral del primer termino se inmediata

(1/2) ∫ du = (1/2).u + c₁

la integral del segundo termino se resuelve por sustitución

si x = 2u   ⇒  dx/du =  2   ⇒ dx = 2du

nuevamente se multiplica y divide por 2

∫ cos(2u) du = (1/2) ∫ cos(2u) 2du = (1/2) ∫ cos(x) dx = (1/2).sen(x) + c₂

por lo tanto

∫ sen²(u) du = (1/2) ∫ du - (1/2) ∫ cos(2u) du

                   = (1/2)u + c₁  - (1/2).(1/2).sen(2u) - c₂/2

                   = (1/2).(u - sen(2u)/2) + (c₁ - c₂/2)

                   = (1/2).(u - sen(2u)/2) + C

por lo tanto la integral de -π/2 a π/2, por regla de barrow sera

= [(1/2).((π/2) - sen(2(π/2))/2) + C] - [(1/2).((-π/2) - sen(2(-π/2))/2) + C]

= [(1/2).((π/2) - sen(π)/2) + C] - [(1/2).((-π/2) - sen(-π)/2) + C]

= [(1/2).(π/2) + C] - [(1/2).(-π/2) + C]

= π/4 + C + π/4 - C

= π/2

 

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