Respuestas
Respuesta:
a) lnx.r + c
b) (1/2).ln(x² + 1) + c
c) ∫ sen²(u) du desde -π/2 a π/2 es igual a π/2
Explicación paso a paso:
a) ∫ lnx dr
el diferencial indica la variable de integración por lo tanto lnx es ó actúa como una constante, es decir
∫ lnx dr = lnx ∫ dr = lnx.r + c
b) ∫ x/(x² + 1) dx
puede ser resuelta empleando el método de sustitución, esto seria
variable u = x² + 1 entonces du/dx= 2x implicaría que du = 2x dx
como ya se dispone de x en el numerador se va a multiplicar y a dividir por 2 para construir el diferencial de u (du)
∫ x/(x² + 1) dx = ∫ 2x/2(x² + 1) dx = ∫ 2xdx/2(x² + 1) = (1/2) ∫ 2xdx/(x² + 1)
= (1/2) ∫ du/u se integra
= (1/2).lnu + c = (1/2).ln(x² + 1) + c
c) primero se va a resolver la ∫ sen²(u) du de forma indefinida
por trigonométria se sabe que
cos(2u) = cos²(u) - sen²(u) = 1 - sen²(u) - sen²(u) = 1 - 2sen²(u)
si se despeja sen²(u) se obtiene
sen²(u) = (1 - cos(2u))/2
se reemplaza esta nueva expresión en el integrando, entonces
∫ sen²(u) du = ∫ (1 - cos(2u))/2 du = ∫ du/2 - ∫ (cos(2u)/2) du
= (1/2) ∫ du - (1/2) ∫ cos(2u) du
la integral del primer termino se inmediata
(1/2) ∫ du = (1/2).u + c₁
la integral del segundo termino se resuelve por sustitución
si x = 2u ⇒ dx/du = 2 ⇒ dx = 2du
nuevamente se multiplica y divide por 2
∫ cos(2u) du = (1/2) ∫ cos(2u) 2du = (1/2) ∫ cos(x) dx = (1/2).sen(x) + c₂
por lo tanto
∫ sen²(u) du = (1/2) ∫ du - (1/2) ∫ cos(2u) du
= (1/2)u + c₁ - (1/2).(1/2).sen(2u) - c₂/2
= (1/2).(u - sen(2u)/2) + (c₁ - c₂/2)
= (1/2).(u - sen(2u)/2) + C
por lo tanto la integral de -π/2 a π/2, por regla de barrow sera
= [(1/2).((π/2) - sen(2(π/2))/2) + C] - [(1/2).((-π/2) - sen(2(-π/2))/2) + C]
= [(1/2).((π/2) - sen(π)/2) + C] - [(1/2).((-π/2) - sen(-π)/2) + C]
= [(1/2).(π/2) + C] - [(1/2).(-π/2) + C]
= π/4 + C + π/4 - C
= π/2