Question

Determinar puntos equidistantes A(1,7) B(8,6) C(7,-1)

Answer 1

Hola :D

Tema: Circunferencia

Tarea: Determinar puntos equidistantes A(1,7) B(8,6) C(7,-1)

Aquí hay una palabra que debemos resaltar equidistantes, se refiere a que se encuentran en la misma distancia, es decir, que se trata de un radio de circunferencia, debido a que siguen el mismo patrón, podemos resolverlo.

Primero, tengamos en cuenta la ecuación ordinaria con centro fuera del origen de la circunferencia: $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Ahora, vamos a obtener algunas ecuaciones respecto a dicha ecuación ordinaria, recordemos que los puntos que se nos dan tienen coordenadas $(x,y)$, así que sólo sustituimos:

$A_{(1,7)}:(1-h)^{2}+(7-k)^{2} =r^{2}$

Para poder desarrollar este procedimiento hemos de auxiliarnos del Trinomio Cuadrado Perfecto, el cual nos dice que la suma de dos términos diferentes, elevados al cuadrado será igual al cuadrado del primer término más dos veces el primero por el segundo más el segundo término al cuadrado, o de la misma manera:  $(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$

Teniendo eso cuenta, resolvemos:

$A_{(1,7)} :h^{2}-2h+1+k^{2}-14k+49=r^{2}\\   \boxed{A_{(1,7)}:h^{2}-2h+k^{2}-14k+50=r^{2}    }$

Ahora, encontramos la segunda ecuación:

$B_{(8,6)} :(8-h)^{2}+(6-k)^{2}= r^{2}  \\B_{(8,6)}:h^{2}-16h+64+k^{2}-12k+36=r^{2}\\    \boxed{B_{(8,6)}:h^{2}-16h+k^{2}-12k+100=r^{2}   }$

Después encontramos la tercer ecuación:

$C_{(7,-1)}:(7-h)^{2}+(-1-k)^{2}=r^{2}\\C_{(7,-1)}:h^{2}-14h+49+k^{2}+2k+1=r^{2} \\      \boxed{C_{(7,-1)} :h^{2}-14h+k^{2}+2k+50=r^{2}   }$

Ahora, armamos nuestro sistema de ecuaciones 3 × 3, el cual resolveré por el método de igualación: en este caso, a falta de más conocimientos de la utilización de LaTex, hare el sistema a trozos, es decir resolveré la primera con la segunda, para encontrar una cuarta ecuación, y después resolver la segunda con la tercera, para así obtener una quinta ecuación, y después encontrar el valor con la cuarta y quinta.

$\left \{ {{h^{2}-2h+k^{2}-14k+50=r^{2}   } \atop {h^{2}-16h+k^{2}-12k+100=r^{2}   }} \right.$

$\not h^{2}-2h +\not k^{2}-14k+50= \not h^{2}-16h+ \not k^{2} -12k+100\\   -2h-14k+50=-16h-12k+100\\-2h+16h-14k+12k=100-50\\\boxed{ 14h-2k=50} \rightarrow \textrm{Cuarta ecuacion}$

Encontramos el otro sistema:

$\left \{ {{h^{2}-16h+k^{2}-14k+50=r^{2}   } \atop {h^{2}-14h+k^{2}+2k+50=r^{2}   }} \right.$

$\not h^{2}-16h+ \not k^{2} -12k+100= \not h^{2}-14h+\not k^{2}+2k+50\\   -16h-12k+100=-14h+2k+50\\-16h+14h-12k-2k=50-100\\\boxed{-2h-14k=-50} \rightarrow \textrm{Quinta ecuacion}$

Ahora, hacemos nuestro último sistema con la cuarta y quinta:

$\left \{ {{14h-2k=50} \atop {-2h-14k=-50}} \right.$

En este caso, podemos hacerlo más rápido usando el método de suma y resta, el cual se empleará de la siguiente manera:

$14h-2k=50\\7(-2h-14k=-50)$

Tendremos pues:

$\not 14h-2k=50\\\not 14h-98k=-350$

Del cual nos queda:

$-100k = -300 \Rightarrow k=\frac{-300}{-100} \therefore\boxed{\boxed{k=3}}$

Como ya hemos encontrado $k$ procedemos a encontrar $h$ sustituyendo en la cuarta o quinta, en mi caso, lo haré en la cuarta:

$14h-2(3)=50\\14h-6=50\\14h=50+6\\14h=56 \Rightarrow h=\frac{56}{14} \therefore\boxed{\boxed{h=4}}$

Entonces, concluyo, el punto que equidista de A, B y C es: (4,3)

Como dato extra mediante la ecuación general de la circunferencia fuera del origen, encontraremos el radio, o en otras palabras la distancia.

Recuerda que nos debe dar un mismo radio, así que intentamos con A, B y C:

$A_{(1,7)}:(1-4)^{2}+(7-3)^{2}=r^{2}\\A_{(1,7)}:(-3)^{2}+(4)^{2} =r^{2} \\r^{2}=25\\\boxed{r=5}$

$B_{(8,6)} :(8-4)^{2}+(6-3)^{2}=r^{2}\\B_{(8,6)}:(4)^{2}+(3)^{2}   =r^{2}\\r^{2}=25 \\\boxed{r=5}$

$C_{(7,-1)}:(7-4)^{2}+(-1-3)^{2}=r^{2}  \\C_{(7,-1)}:(3)^{2}+  (-4)^{2}=r^{2}  \\r^{2}=25\\ \boxed{r=5}$

Por lo que la distancia será de 5 unidades

$\mathbb{ASPR}178$