Question

Tony tiene ahorrados de sus propinas la suma de $/980. Cada dia recibía un incremento constante respecto al dia anterior. Si el último dia recibió la suma de $/ 87, ¿Cuanto recibio el primer dia y en cuanto incremento el siguiente dia?

Answer 1

Respuesta:

El primer día recibió $ 11 y tuvo un incremento de $ 4 durante 19 días más hasta alcanzar los $980

Explicación paso a paso:

Sea:

• a la cantidad inicial recibida.
• k el incremento constante por día
• (n+1) la cantidad de días transcurridos hasta llegar a los $980

De aquí obtenemos:

a + (a + k) + (a + 2k) + (a + 3k) + ... (a + nk) = 980     (Ecuación I)

y además a + nk = 87 (*) y por ende a<87, k<87 y n<87 y además $k=\frac{87-a}{n}$

Aplicando la propiedad Asociativa en el Ecuación I, obtenemos:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n).k + (n+1).a = 980⇒ (suma de Gauss de naturales)

$\frac{n(n+1)}{2}$.k + (n+1).a = 980⇒

(n+1)($\frac{n}{2}$.k + a) = 980 ⇒

(n+1)(nk + 2a) = 1960 ⇒

(n+1)(nk + a + a) = 1960 ⇒ (sustituímos *)

(n+1)(87 + a) = 1960 (Ecuación II)

Si buscamos los divisores de 1960 obtenemos: { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 49, 56, 70, 98, 140, 196, 245, 280, 392, 490, 980, 1960}, con lo cual 87 + a deberá ser uno de dichos números.

Teniendo en cuenta las condiciones para a, n y k, el único valor que satisface todas estas condiciones y genera un incremento entero k es el múltiplo 98, con lo que 87 + a = 98 y por ende a = 11. De la Ecuación II obtenemos n, y luego de la fórmula de k obtenemos el incremento.

Para ver más sobre la suma de Gauss, sigue el siguiente link: https://brainly.lat/tarea/10637696

Espero te sea de utilidad, saludos.