Question

obtenga la distancia mínima desde el origen a la recta 3x + y = 6 y encuentra el punto p de la recta más cercano al origen después demuestre que el origen está en la recta perpendicular a la recta dada que pasa por p​

Answer 1

Según la teoría correspondiente la distancia desde la recta Ax +B y+ C = 0 al punto (k, k) es

d = |A h + B k + C| / √(A² + B²)

Para el origen es (h, k) = (0, 0)

d = |- 6| / √(3² + 1²) = 6 / √10 = 3/5 √10 ≅ 1,9

No hace falta demostración. La distancia entre una recta y un punto es por definición la distancia entre el punto y el punto de intersección entre la recta y la recta perpendicular que pasa por el punto.

Las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocas y opuestas.

La pendiente de la recta dada es m = - 3

m' = - 1 /(-3) = 1/3

La recta perpendicular por el origen es y = 1/3 x

Buscamos las coordenadas del punto P

1/3 x = - 3 x + 6; 10/3 x = 6; x = 9/5; resulta y = 3/5

Punto P(9/5, 3/5)

Distancia desde el origen al punto P

d = 1/5 √(9² + 3²) = √90 / 5 ≅ 1,9

Se adjunta dibujo.

Mateo

Answer 2

Respuesta:

El punto P esta en la coordenada ($\frac{9}{5}$,$\frac{3}{5}$)

Explicación paso a paso:

1. Nos dicen de que hay que hallar la distancia minima desde el origen a la recta 3x+y=6, por lo que ya tenemos dos datos conocidos, el primero que son las coordenadas en el origen (0,0) y el valor del punto y, el cuál obtendremos al despejar la ecuación de la recto que nos dan para y.

• La ecuación de la recta despejada para y quedaría como: $y= -3x+6$      

 

    2. Ahora sustituimos en la formula de la distancia. Recordemos que la    formula de la distancia es: $d=\sqrt[2]{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^2 }$, donde x1 y y1 son las coordenadas del origen, x2 no lo conocemos y y2 será el valor de y (la recta despejada.

    3. Reemplazamos los datos en la formula de la distancia:

  $d=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2\\}$

  $d = \sqrt{(x-0)^2+(-3x+6-0)^2}$

  $d = \sqrt{x^2+(-3x+6)^2}$

  $d = \sqrt{x^2+(9x-36x-36)}$

  $d = \sqrt{x^2+9x^2-36x-36}$

  $d = \sqrt{10x^2-36+36}$

    4. Ahora, debemos de derivar la ecuación, para que así sea mas sencillo poder encontrar el valor de x, recordermos que al ser una raíz, debemos de derivar la función haciendo uso de la regla de la cadena:

   $d' = \frac{1}{2\sqrt{10x^2-36x+36} } * (20x-36)$

   $d' = \frac{20x-36}{2\sqrt{10x^2-36x+36} }$

   

    5. En esto punto, solamente igualamos a 0, esto para hallar el valor de x:

    $\frac{20x-36}{2\sqrt{10x^2-36x+36} } = 0$

•     aquí, pasaremos lo que esta diviendo a $20x-36$ a multiplicar el 0, para que sea más facil encontrar el valor de la x:

    $20x-36 = 0$

    $20x=36$

    $x=\frac{36}{20} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

    $x=\frac{9}{5}$

     6. Ya que encontramos el valor de la x, solamente debemos de sustituir su valor en la ecuación de y, para poder hallar la coordenada de y:

    $y= -3(\frac{9}{5})+6$

    $y= -\frac{27}{5} + 6$

    $y= \frac{-27+30}{5} = \frac{3}{5}$

    $y = \frac{3}{5}$

      7. Con este podemos determinar que la coordenada del punto p que esta mas cerca de la recta es $P(\frac{9}{5},\frac{3}{5})$