Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las gráficas de f(x)=4x, y g(x)=2x^2.
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Respuesta:
Hola Morenomickip67qwf. La soución a tu problema es:
V =(64/15)π
Explicación paso a paso:
Vamos ahora al paso a paso:
Por definición el volumén de revolución de un área encerrada por dos curvas es:
V = π(∫(f(x)-g(x))²dx la evaluación del resultado de la integral se hace en los puntos de corte de ambas funciones
Por lo tanto
f(x) = 4x y g(x) = 2x² tienen como puntos de corte x =0 y x = 2
en x = 0, f(0) 0 =0 y g(0) = 0
en x = 2, f(2) = 8 y g(2) = 8
Asi pues, estos son los dos puntos de cierre del área
Aplicamos la integral:
V = π(∫(4x-2x²)²dx desarrollamos el cuadrado
V = π(∫(16x²-16x³+4x⁴)dx seguimos desarrollando
V = π(∫16x²dx -∫16x³dx +∫4x⁴dx) al resolver las integrales nos queda
V = π(16/3)x³ - (16/4)x⁴ + (4/5)x⁵) evaluados en x = 0 y x = 2Por lo tanto
V = π(V(2) - V(0)) siendo V(2) y V(0) los valores de V evaluados en 2 y 0
Sustituir, hacer el trabajo aritmético y se obtiene el resultado arriba indicado
Espero haberte ayudado