Question

soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler

x^3 y^(´´´)+4x^2 y^(´´)-2y=0

Answer 1

Respuesta:

$y=C_{1}X^{\sqrt{2}}+C_{2}X^{-\sqrt{2}}+C_{3}X^{-1}$

Explicación paso a paso:

Encontramos que la tercera derivada está acompañada de X al cubo, la segunda derivada está acompañada de X al cuadrado y hay una Y sin derivar, que no está acompañada de X alguna.

Se trata entonces de una ecuación de Cauchy Euler que tiene una solución de la forma $y=X^{r}$ y como no conocemos el valor de r, restringimos a X para que sólo tenga valores mayores que 0.

Calculamos entonces la segunda y tercera derivada al segundo y primer miembro de la ecuación, a partir de $y=X^{r}$ pero para calcular la segunda, debemos conocer la primera:

$y^{'}=rx^{r-1}\\y^{''}=r(r-1)x^{r-2}\\y^{'''}=r(r-1)(r-2)x^{r-3}$

Ahora que tenemos la segunda y tercer derivada, sustituimos en la ecuación:

$x^{3}r(r-1)(r-2)x^{r-3}+4x^{2}r(r-1)x^{r-2}-2x^{r}=0$

En el primer término, multiplicamos los exponentes $x^{3}*x^{r-3}$

En el segundo término multiplicamos los exponentes $x^{2}*x^{r-2}$

De acuerdo a la propiedad de las potencias de la misma base, para multiplicarlos dejamos la base y sumamos los exponentes (3+r-3) y (2+r-2) y nos queda $x^{r}$ para cada uno de los dos términos.

Temporalmente saco aparte a $x^{r}$ para hacer las siguientes operaciones

Realizamos los productos:

En el primer término:

$r(r-1)(r-2)=r^{3}-3r^{2}+2r$

En el segundo término: $4r*(r-1)=4r^{2}-4r$

Ahora incorporo nuevamente  $x^{r}$ y ensamblo la ecuación:

$(r^{3}-3r^{2}+2r)x^{r}+(4r^{2}-4r)x^{r}-2x^{r}=0$

Observo las expresiones y puedo sacar factor común $x^{r}$ porque está en los tres términos:

$x^{r}(r^{3}-3r^{2}+2r+4r^{2}-4r-2)=0$

Opero los términos semejantes que están dentro del paréntesis:

$x^{r}(r^{3}+r^{2}-2r-2)=0$

Paso $x^{r}$ a dividir al otro lado y eso es igual a 0. La ecuación queda así:

$r^{3}+r^{2}-2r-2=0$

Factorizo por agrupación de términos:

$(r^{3}+r^{2})+(-2r-2)=0$

$r^{2}(r+1)+[-2(r+1)]=0$

$(r^{2}-2)(r+1)=0$

Ahora aplicamos el factor nulo, para averiguar cuales valores de r cumplen la condición hacer que el producto sea cero:

Si tenemos que a “r” elevada al cuadrado, se le resta 2, pensemos en un número que elevado al cuadrado sea 2. Ese número es raíz de 2= 1.414213

Pero también puede ser negativo, porque está elevado al cuadrado y se cumple que menos por menos da más. -1.414213

Miremos el segundo factor y encontramos que -1 hace que el factor se vuelva cero: -1

Esos tres valores de $r:\sqrt{2};-\sqrt{2};-1$  dan las tres soluciones para la ecuación planteada en el problema.

Volvemos entonces a la forma $y=x^{r}$ y procedemos a reemplazar los valores encontrados para r

$y_{1}=x^{\sqrt{2}}\\y_{2}=x^{-\sqrt{2}}\\y_{3}=x^{-1}$

Solución general:

$y=C_{1}x^{\sqrt{2}}+C_{2}x^{-\sqrt{2}}+C_{3}x^{-1}$

Esa es la solución