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Ecuación de la elástica
La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concreta mente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:
(1) {\displaystyle {\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}}}} {\displaystyle {\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}}}}
Donde:
{\displaystyle v(x)\,} {\displaystyle v(x)\,} representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas.
{\displaystyle x\,} x\, es la abscisa (eje X) sobre la viga.
{\displaystyle M_{z}(x)\,} {\displaystyle M_{z}(x)\,} es el momento flector sobre la abscisa {\displaystyle x\,} x\,.
{\displaystyle I_{z}\,} {\displaystyle I_{z}\,} es el segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal.
{\displaystyle E\,} E\, es el módulo de elasticidad del material.
La ecuación (1) constituye solo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):
(1') {\displaystyle {\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}}}\left[1+\left({\frac {dv(x)}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}} {\displaystyle {\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}(x)}{EI_{z}}}\left[1+\left({\frac {dv(x)}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}
La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:
(2) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(EI_{z}{\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}\right)=q(x)} {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(EI_{z}{\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}\right)=q(x)}
Esta última ecuación es interesante porque su generalización a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:
{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\left[EI_{pl}\left({\frac {\partial ^{2}w(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w(x,y)}{\partial y^{2}}}\right)\right]=q(x,y)} {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\left[EI_{pl}\left({\frac {\partial ^{2}w(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w(x,y)}{\partial y^{2}}}\right)\right]=q(x,y)}
Donde {\displaystyle D=EI_{pl}} {\displaystyle D=EI_{pl}} es la rigidez de una placa delgada en flexión.
Ejemplo
Viga deformada por flexión.
Para una viga elástica en la que se aplican solo momentos M1 y M2, la forma de la curva elástica depende solo de dos parámetros independientes, la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación diferencial siguiente:
{\displaystyle {\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}={\frac {1}{EI_{z}}}\left(M_{1}+{\frac {M_{2}-M_{1}}{L}}x\right)} {\displaystyle {\frac {d^{2}v(x)}{dx^{2}}}={\frac {1}{EI_{z}}}\left(M_{1}+{\frac {M_{2}-M_{1}}{L}}x\right)}
{\displaystyle {\begin{cases}v(L)-v(0)=\delta _{2}-\delta _{1}=\delta \\v'(L)-v'(0)=\theta _{2}-\theta _{1}={\frac {\delta }{L}}\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}v(L)-v(0)=\delta _{2}-\delta _{1}=\delta \\v'(L)-v'(0)=\theta _{2}-\theta _{1}={\frac {\delta }{L}}\end{cases}}}
La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:
- {\displaystyle v(x)=L(\theta _{2}-\theta _{1})\left(-{\frac {3x^{3}}{L^{3}}}+{\frac {5x^{2}}{L^{2}}}-{\frac {x}{L}}\right)+L\theta _{2}\left({\frac {2x^{3}}{L^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{L^{2}}}+{\frac {x}{L}}\right)} {\displaystyle v(x)=L(\theta _{2}-\theta _{1})\left(-{\frac {3x^{3}}{L^{3}}}+{\frac {5x^{2}}{L^{2}}}-{\frac {x}{L}}\right)+L\theta _{2}\left({\frac {2x^{3}}{L^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{L^{2}}}+{\frac {x}{L}}\right)}
Explicación: