Question

Ayuda por favor, desarrollo de integral impropia.

Answer 1

Respuesta:

π

Explicación paso a paso:

Trabajamos con la integral para realizar una sustitución:

Extraemos el 4 del denominador al ser una constante:

$4\int\limits^0_{-\infty} {\frac{1}{(x^2+4)} }dx$

Factor común de 4 en el denominador:

$4\int\limits^0_{-\infty} {\frac{1}{4(\frac{x^2}{4} +1)} }dx$

Simplificamos el 4 del denominador con el externo al ser constantes:

$\int\limits^0_{-\infty} {\frac{1}{(\frac{x^2}{4} +1)} }dx$

Ahora pasamos a hacer una sustitución para simplificar la integral:

Sea $u=\frac{x}{2}$

Derivamos la sustitución para reemplazar dx en la integral inicial:

$du=\frac{1}{2} dx$

De lo cual vemos que $dx=2du$

Reemplazamos todo esto en la integral:

$2\int\limits^0_{-\infty} {\frac{1}{u^2 +1} }du$

Aplicamos el teorema fundamental del cálculo se tiene:

$\lim_{a \to -\infty} 2tan^{-1}(u)\Biggr|_{a}^{0}$

Evaluando en los límites y restando se obtiene:

$2tan^{-1}(u)\Biggr|_{-\infty}^{0}=2tan^{-1}(0)-(2tan^{-1}(-\infty))=\pi$