Question

cual es la formula de esta sucesión?

el titulo es expresion cuadratica para definir el enesimo termino de una sucesión​

Answer 1

Tarea:

¿Cuál es la fórmula de esta sucesión?

Respuesta:

La fórmula buscada es:  $a_n=\dfrac{n^2}{2} +\dfrac{n}{2}$

Explicación paso a paso:

Orden de términos:    1º              2º             3º            4º

Progresión inicial:       1               3               6              10 ... etc

Diferencia 1:                      +2              +3             +4         ⇒ (1º orden)

Diferencia 2:                               +1              +1                  ⇒ (2º orden)

Ahí se puede observar que la diferencia entre términos es creciente. Eso sería en la "diferencia 1"

Tenemos una progresión dentro de otra progresión. 

La diferencia 1 (de primer orden) se aprecia que no es constante sino que va aumentando en una unidad según cambiamos de un término al siguiente.

La diferencia 2 (de segundo orden) sí es constante y es una unidad la que aumenta en cada paso de un término al siguiente.

Este tipo de progresiones se conocen como progresiones cuadráticas porque al calcular su término general se nos queda una expresión similar a la de una ecuación de 2º grado, es decir:  $a_n=an^2+bn+c$

En el segundo orden "diferencia 2" es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal y donde siempre se cumple que existe una diferencia de una unidad entre dos términos consecutivos,  

2+1 = 3 ... 3+1 = 4 ...  4+1 = 5 ... etc ...

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla (o fórmula) que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. 

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) de la expresión anotada al principio, o sea: "an²+bn+c" 

y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 1 ... lo llamo C

Diferencia 1 = ---------------+2 ...  lo llamo B

Diferencia 2 = ---------------+1 ...  lo llamo A

Y ahora hay que acudir a esta expresión:

$a_n= \dfrac{A}{2} *n^2+(B- \dfrac{3}{2}*A )*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas.  

Sustituiré las letras A,B,C, por los valores especificados arriba y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n= \dfrac{1}{2} *n^2+(2- \dfrac{3}{2}*1 )*n+(1-2+1)\\ \\ \\ a_n=\dfrac{n^2}{2} +\dfrac{n}{2}$

Ahí queda la expresión cuadrática que define el n-ésimo término de esta progresión.

Saludos.