Question

¿Cuántos números existen que al ser divididos entre 83, dan como residuo un número que es el cuadrado del cociente?

Answer 1

Solución: Hay 10 números enteros no negativos que al ser dividido entre 83 dan como resultado un residuo que es igual al cociente al cuadrado

Explicación paso a paso:

Si un número "a" es dividido entre un número "b" y da como resultado un cociente "c" y un resto "r", entonces:

a = b*c+r

Supondremos que "a" es entero y no negativo, pues son las divisiones mas comunes y son las que arrojan cociente y resto. Donde a,b,c,r son enteros.

Sea "a" el número que queremos encontrar: en este que b= 83 y el resto r es igual a el cociente "c" al cuadrado, entonces:

$a= 83*c+c^{2}$

Vemos que tenemos una sola ecuación y dos variables, lo que indica que o el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, si probamos para c=1

$a= 83*1+1^{2}= 84$ Por tanto si hay soluciones al sistema y son infinitas. Ahora tenemos varias restricciones sobre c, debe ser entero y no negativo, además $c^{2}\leq83-1= 82$ pues el resto no puede ser mayor o igual que el divisor. Como c es positivo:

$c\leq \sqrt{82}  = 9.0553$

Además dijimos que c era entero y no negativo,  por lo tanto los valores que puede tomar c son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Para un total de 10 valores para c que nos darán 10 soluciones para "a".

Hay 10 números enteros no negativos que al ser dividido entre 83 dan como resultado un residuo que es igual al cociente al cuadrado

Estas soluciones se pueden encontrar dándole los valore a "c" que puede tomar, encontraremos 2.

• Si c = 2

$a= 83*2+2^{2} = 170$ El cociente es 2 y el resto 4

• Si c= 4

$a= 83*4+4^{2}= 336$ Cociente es 4 y el resto es 16