Question

¡Hola! ¿Alguien puede ayudarme con este ejercicio, por favor?

La familia López saldrá a pasear durante las vacaciones, le piden al hijo mayor que seleccione los discos de música que irán escuchando en el viaje, deben escoger 6 de 30 discos de rock de su colección, 3 de 20 discos de música clásica y 2 de 10 discos de música romántica. ¿ De cuántas maneras se puede hacer la selección?.

Answer 1

Tarea:

La familia López saldrá a pasear durante las vacaciones, le piden al hijo mayor que seleccione los discos de música que irán escuchando en el viaje, deben escoger 6 de 30 discos de rock de su colección, 3 de 20 discos de música clásica y 2 de 10 discos de música romántica. ¿ De cuántas maneras se puede hacer la selección?

Respuesta:

593.775 maneras de elegir entre los de rock

1.140 maneras de elegir entre los de clásica

360 maneras de elegir entre los de romántica.

Explicación paso a paso:

Hay que realizar combinaciones parciales para cada tipo de música.

El modelo combinatorio a usar es combinaciones y no variaciones porque no importa el orden en que se elijan los elementos para distinguir entre una forma y otra, por ejemplo, si de los de rock elijo los discos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, serán los mismos discos que si los enumero en distinto orden, por ejemplo, 2, 4, 6, 3, 1 y 5, ¿entiendes? Son los MISMOS discos ordenados de forma distinta pero sigue siendo la misma combinación. Por ello se usan COMBINACIONES.

Sería así:

COMBINACIONES DE 30 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 6 EN 6 (n)

La fórmula de las combinaciones dice:  

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!} \\ \\ \\ C_{30}^6 =\dfrac{30!}{6!*(30-6)!} =\dfrac{30*29*28*27*26*25*24!}{6*5*4*3*2*1*24!} =\\ \\ \\ =\dfrac{427518000}{720} =593.775\ maneras$

Esto para los discos de rock.

Para los de clásica:

$C_{20}^3=\dfrac{20!}{3!*(20-3)!}=\dfrac{20*19*18*17!}{3*2*1*17!} =1.140\ maneras$

Y para los de romántica:

$C_{10}^2=\dfrac{10!}{2!*(10-2)!}=\dfrac{10*9*8!}{2*1*8!} =360\ maneras$

Saludos.