Respuestas
Respuesta:
soluciones
x = 1 ; x = -2 ; x = -3
Explicación paso a paso:
x³ + 4x² + x - 6 = 0
se va a descomponer - 6 como - 4 - 1 - 1 , entonces, se tiene
x³ + 4x² + x - 4 - 1 - 1 = 0
ahora se va a asociar de la siguiente manera
(x³ - 1) + (4x² - 4) + (x - 1) = 0
el primer termino es una diferencia de cubos perfectos, si se lo factoriza se tiene
x³ - 1 = (x - 1).(x² + x + 1)
el segundo termino es una diferencia de cuadrados, si se lo factoriza se tiene
4x² - 4 = 4(x² - 1) = 4(x - 1).(x + 1)
por lo tanto, si reemplazamos las expresiones anteriores en la ecuación se obtiene
(x - 1).(x² + x + 1) + 4(x - 1).(x + 1) + (x - 1) = 0
se extrae el factor común x - 1
(x - 1).[(x² + x + 1) + 4(x + 1) + 1] = 0
(x - 1).(x² + 5x + 6) = 0
ahora se factoriza el polinomio x² + 5x + 6
para eso se descompone 5x como 4x + x y 6 como 4 + 2, entonces
(x - 1).(x² + 4x + x + 4 + 2) = 0
se asocia
(x - 1).[(x² + 4x + 4) + (x + 2)] = 0
(x - 1).[(x + 2)² + (x + 2)] = 0
se extrae factor común x + 2
(x - 1).(x + 2).(x + 2 + 1) = 0
y finalmente se tiene la factorizacion de x³ + 4x² + x - 6 = 0
(x - 1).(x + 2).(x + 3) = 0
por lo tanto las soluciones de la ecuación son
x - 1 = 0 ⇒ x = 1
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
x + 3 = 0 ⇒ x = - 3