Question

Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado: ∫▒〖(3x^4-12x^3+12x^2+x-1)/(x^3-4x^2+4x) dx〗

Answer 1

Solución: la integral $\int {\frac{3x^{4}-12x^{3}+12x^{2} -1}{x^{3} -4x^{2} +4x} } \, dx$ es igual a $= \frac{3x^{2} }{2} -\frac{1}{4}\ln(x)+ \frac{1}{4}ln(x-2)+\frac{1}{2(x-2)} + C$ Para C una constante.

Explicación paso a paso

Dividimos los polinomios, en la imagen podemos observar la división de los polinomios por lo que la integral seria:

$\int {\frac{3x^{4}-12x^{3}+12x^{2} -1}{x^{3} -4x^{2} +4x} } \, dx= \int{(3x-\frac{1}{x^{3} -4x^{2} +4x})} \, dx = \int {3x} \, dx -\int{(\frac{1}{x^{3} -4x^{2} +4x})} \, dx$

Sacamos la constante de la raíz y tenemos:

= $3* \int {x} \, dx -\int{(\frac{1}{x^{3} -4x^{2} +4x})} \, dx$

Integral de una potencia es la variable a la potencia mas uno entre la potencia mas uno.

$= 3* \frac{x^{2} }{2} -\int{(\frac{1}{x^{3} -4x^{2} +4x})} \, dx$

Usando fracciones parciales:

$= 3* \frac{x^{2} }{2} -\int{(\frac{1}{4x}-\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{2(x-2)^{2}})}\,dx$

Usando la linealidad de la integral:

$= \frac{3x^{2} }{2} - (\frac{1}{4}\int {\frac{1}{x}} \, dx- \frac{1}{4}\int {\frac{1}{(x-2)}} \, dx+\frac{1}{2}\int {\frac{1}{(x-2)^{2} }} \, dx)$

La integral de 1/x respecto de x es ln (x) y haciendo u= $(x-2)$ du= dx

$= \frac{3x^{2} }{2} - (\frac{1}{4}\ln(x)- \frac{1}{4}\int {\frac{1}{u}} \, dxu+\frac{1}{2}\int {\frac{1}{u^{2} }} \, du)$

Nuevamente la integral de 1/u es ln(u)

$= \frac{3x^{2} }{2} - (\frac{1}{4}\ln(x)- \frac{1}{4}ln(u)+\frac{1}{2}\int {u^{-2} } \, dx)$

Usando la regla de integral de la potencia:

$= \frac{3x^{2} }{2} - (\frac{1}{4}\ln(x)- \frac{1}{4}ln(u)-\frac{1}{2u} + C' )$

Sustituyendo el valor de u y usando propiedad distributiva

$= \frac{3x^{2} }{2} -\frac{1}{4}\ln(x)+ \frac{1}{4}ln(x-2)+\frac{1}{2(x-2)} + C$