halle las siguientes distancias
a. el punto (2, -1) y la recta 3x+4y=0
b. el punto (1,3) y la recta 2x-3y+1=0
c. el punto (2,5) y la recta x=4
d. entre la recta 3x-4y+4=0 y la recta 9x-12y-4=0
e. entre la recta x-2y+8=0 y la recta -2x+4y-7=0
Respuestas
Respuesta:
a) d = 0,4
b) d = 2,2188
c) d = 2,2188
d) d(r,s) = 16/15
e) d(r,s) = 9√5/10
Explicación paso a paso:
Por regla general la distancia de un punto a una recta es la distancia que hay desde el punto en forma perpendicular a la recta.
Para ello se toma la ecuación general de la recta y se aplica la fórmula siguiente:
d = |Ax + By + C|/√(A² + B²)
a) el punto (2, -1) y la recta 3x+4y=0
Punto: (2,- 1)
3x + 4y = 0
Se ordena la ecuación igualándola cero.
3x + 4y = 0
Donde:
A = 3
B = 4
C = 0
Se aplica la fórmula para el punto dado.
d = |3(2) + 4(- 1) + (0)|/√(3)² + (4)²
d = |6 - 4|/√(9 + 16)
d = |2|/√25 = 2/5 = 0,4
d = 0,4
b) el punto (1,3) y la recta 2x-3y+1=0
Punto: (1,3)
2x - 3y + 1 = 0
Se ordena la ecuación igualándola cero
2x - 3y + 1 = 0
Donde:
A = 2
B = - 3
C = 1
Se aplica la fórmula para el punto dado.
d = |2(1) + (- 3)(3) + (1)|/√(2)² + (- 3)²
d = |2 - 9 -1|/√(4 + 9)
d = |- 8|/√13 = 8/3,6055 = 2,2188
d = 2,2188
c) el punto (2,5) y la recta x=4
Punto: (2,5)
x = 4
Se ordena la ecuación igualándola cero
x - 4 = 0
Donde:
A = 1
B = 0
C = - 4
Se aplica la fórmula para el punto dado.
d = |1(2) + 0(5) + (- 4)|/√(1)² + (0)²
d = |2 + 0 - 4|/√(1 + 0)
d = |- 2|/√1 = 2/1 = 2
d = 2
d) entre la recta 3x-4y+4=0 y la recta 9x-12y-4=0
Para comprobar si son paralelas se comprueba lo siguiente:
A’/A = B’/B ≠ C’/C
Comprobando el paralelaje.
9/3 = - 12/- 4 ≠ -4/4
3 = 3 ≠ - 1
Se observa por los valores de los coeficientes que las rectas son paralelas, por lo que se puede aplicar la fórmula siguiente:
d(r,s) = |C- C’|/√(A² + B²)
Sea la recta: r = 3x – 4y +4 = 0
Donde:
A = 3
B = - 4
C = 4
Sea la recta: s = 9x – 12y - 4 = 0
Donde:
A = 3
B = - 4
C = - 4
Si r se multiplica por tres (3) se convierte en:
r = 9x - 12y + 12 = 0
Entonces:
d(r,s) = |12- (-4)|/√(9² + 12²)
d(r,s) = |12 + 4)|/√(81 + 144) = |16|/√225 = 16/15
d(r,s) = 16/15 = 1,0666666666666666666666666666667
e. entre la recta x-2y+8=0 y la recta -2x+4y-7=0
Sea la recta: r = x – 2y + 8 = 0
Donde:
A = 1
B = - 2
C = 8
Sea la recta: s = - 2x + 4y - 7 = 0
Donde:
A = - 2
B = 4
C = - 7
Comprobando el paralelaje.
-2/1 = 4/- 2 ≠ - 7/8
-2 = -2 ≠ - 7/8
Se observa por los valores de los coeficientes que las rectas son paralelas, por lo que se puede aplicar la fórmula siguiente:
d(r,s) = |C- C’|/√(A² + B²)
Sea la recta: r = x – 2y + 8 = 0
Si s se divide entre (- 2) se convierte en:
s = x – 2y + 7/2 = 0
Entonces:
d(r,s) = |8- (7/2)|/√(1)² + (- 2)²
d(r,s) = |9/2)|/√(1 + 4) = (9/2)/√5
Se aplica radicación para eliminar la raíz del denominador.
(9/2)/ √5 x (√5)/(√5)
(9/2) x √5/(√5)² = (9/2)(√5)/5 = 9√5/10
d(r,s) = 9√5/10 = 2,0124611797498107267682563018581
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