Question

hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parabolas y=a.x2

Answer 1

La familia ortogonal a la parábola y =ax² es igual a y =  (-1/2a)·ln(x) + C.

Explicación:

Las trayectorias ortogonales se obtiene mediante la utilización de definición de derivada y ecuaciones diferenciales.

Sabemos que la pendiente de una función viene dada por su derivada, tal que:

y = ax²

y' = 2ax

Entonces, para que sean ortogonales se debe cumplir que la recta tangente deber ser ortogonal a la familia de rectas buscadas, tal que:

• m₂ = -1/m₁

Aplicamos esta condición y tenemos que:

y' = -1/2ax

Entonces, resolvemos esta ecuación diferencial, tal que:

∫dy = ∫(-1/2ax) dx

y = (-1/2a)∫1/x dx

y = (-1/2a)·ln(x) + C

Por tanto, tenemos que la familia ortogonal a y =ax² es igual a y =  (-1/2a)·ln(x) + C.

Answer 2

Respuesta:

$2y^{2} + x^{2} = C$

Explicación:

Derivando obtenemos y'= 2ax y sustituendo  queda la ecuacion y' =  2y/x. Sustituyendo en esta ecuacion y' por -1/y' obtenemos la ecuacion

de las trayectorias ortogonales: $-x=2y'*y,$ o bien xdx + 2ydy = 0.

Integrando, obtenemos la familia de elipses:

$x^{2}$/2+ $y^{2}$ = C (C > 0)