Question

Límite cuando x tiende a 1 de raíz cuadrada de x menos 1 partido por x-1.
Lím √x - 1 / x-1
x->1

Answer 1

lim [(x² - 1) /(√x - 1)] =
x→1

el límite es de la forma 0/0; multipliquemos numerador y denominador por (√x + 1) (obteniendo una diferencia de cuadrados en el denominador):

lim {[(x² - 1)(√x + 1) /[(√x + 1)(√x - 1)]} =
x→1

lim {[(x² - 1)(√x + 1)] /(√x² - 1²)} =
x→1

lim {[(x² - 1)(√x + 1)] /(x - 1)} =
x→1

factoricemos x² - 1 y simplifiquemos:

lim {[(x + 1)(x - 1)(√x + 1)] /(x - 1)} =
x→1

lim [(x + 1)(√x + 1)] =
x→1

lim {[(→1) + 1][√(→1) + 1]} =
x→1

(1 + 1)(1 + 1) =

2(2)


4 (resultado)


=======================================...

lim [(x³ - 4x² + 5x - 2) /(x³ - x² - x + 1)] =
x→1

el límite es de la forma 0/0; eso significa que tanto el numerador como el denominador son divisibles por (x - 1); verifiquémoslo por división sintética:

.. | 1. - 4.. 5. - 2 |
1 |...... 1 - 3... 2 |
------------------------
... 1.. - 3.. 2... 0



(x³ - 4x² + 5x - 2) /(x - 1) = x² - 3x + 2

de

x³ - 4x² + 5x - 2 = (x - 1)(x² - 3x + 2)



.. | 1. - 1.. - 1... 1 |
1 |...... 1.... 0. - 1 |
--------------------------
... 1... 0... - 1... 0

obteniendo:

(x³ - x² - x + 1) /(x - 1) = x² - 1

de donde:

x³ - x² - x + 1 = (x - 1)(x² - 1)



lim {[(x - 1)(x² - 3x + 2)] /[(x - 1)(x² - 1)]} =
x→1

(simplificando)

lim [(x² - 3x + 2) /(x² - 1)] =
x→1

el límite es todavía de la forma 0/0; factoricemos numerador y denominador:

lim {(x² - 2x - x + 2) /[(x + 1)(x - 1)]} =
x→1

lim {[x (x - 2) - (x - 2)] /[(x + 1)(x - 1)]} =
x→1

lim {[(x - 2)(x - 1)] /[(x + 1)(x - 1)]} =
x→1

(simplificando)

lim [(x - 2) /(x + 1)] =
x→1

lim {[(→1) - 2] /[(→1) + 1]} =
x→1

(1 - 2) /(1 + 1) =


- 1/2 (resultado)


=======================================...

lim [(x² + x⁴) /(x⁶ - x²)] =
x→0

el limite es de la forma 0/0; saquemos el factor común x² tanto en el numerador como en el denominador:

lim {[x² (1 + x²)] /[x² (x⁴ - 1)]} =
x→0

simplifquemos:

lim [(1 + x²) /(x⁴ - 1)] =
x→0

lim {[1 + (→0)²] /[(→0)⁴ - 1]} =
x→0

1 /(- 1) =


- 1