Question

encuentra las dimensiones de un recipiente cilindrico de laton de 1200 cm3 de capacidad que requiere la menor cantidad de metal (area total)

Answer 1

Respuesta:

radio = $\sqrt[3]{\frac{600}{\pi}}$

altura = $\frac{1200} {\pi(\sqrt[3]{\frac{600}{\pi}}) ^{2}}$

Explicación paso a paso:

Para poder resolver este problema, debemos escribir la función área total en función de una sola variable y calcular la derivada para encontrar el valor que minimiza el área total.

Comencemos despejando una variable utilizando la información dada, sea r el radio del cilindro y h su altura:

V(h,r)=$r^{2} \pi h$ ⇒

$r^{2} \pi h$ = 1200 ⇒

h = $\frac{1200}{r^{2} \pi}$ (I)

Luego escribimos el área total en función del radio de la base y la altura y sustituimos el valor de h despejado:

AreaT(r,h) = 2. Area de la base + Perimetro de la base . h ⇒

AreaT(r,h) = $2r^{2} \pi + 2r\pi h$ ⇒

AreaT(r,h) = $2r^{2} \pi + 2r\pi \frac{1200}{r^{2} \pi}$ ⇒

AreaT(r) = $2r^{2} \pi + \frac{2400}{r}$

Luego derivamos con respecto a la variable r

AreaT'(r) = $4\pi r - \frac{2400}{r^{2}}$

El valor que minimiza el área total será la raíz de la expresión anterior.

$4\pi r - \frac{2400}{r^{2}}$ = 0

De donde r = $\sqrt[3]{\frac{600}{\pi}}$

Finalmente, debemos sustituir el valor hallado en el paso anterior en la expresión (I) de h, con lo que obtenemos:

$h=\frac{1200}{\sqrt[3]{\frac{600}{\pi}}^{2} \pi}$

Aquí tienes otros ejemplos aplicados sobre máximos y mínimos utilizando la derivada: https://brainly.lat/tarea/10905904

Espero te sea de utilidad rosaslizbeth726, saludos.