Question

Según una encuesta realizada sobre una muestra de 250 estudiantes elegidos al azar de una universidad, se observó que 50 de ellos vivían en una pensión.
a) ¿Podemos afirmar que el 15% de los estudiantes de la universidad vive en una pensión? Use un nivel de confianza de 95%.
b) Determine con un 99% de confianza, entre que valores estará la verdadera proporción de estudiantes que viven en una pensión en la universidad.

Answer 1

Solución: no se puede afirmar que un 15% de los estudiantes vive en la pensión y se puede afirmar que del 13.56% al 26.44% de los estudiantes viven en una pensión.

Explicación paso a paso:

Intervalos de confianza: para definir un intervalo de confianza de una muestra aleatoria, con distribución normal e independiente, usamos la siguiente ecuación:

p'±Z*$\sqrt{\frac{p'(1-p')}{n} }$

Donde p' es proporción muestral y Z* es el valor dado por la tabla de la distribución normal. y n es el tamaño de la muestra

Ahora como nuestra muestra es al azar, entonces es una muestra aleatoria; supondremos que es normal, y son independientes pues si un estudiante vive en una pensión no afecta a si otro estudiante vive en una pensión.

Encontramos la proporcional muestral: de 250 estudiantes, 50 viven en pensión

$p' = \frac{50}{250} = 0.2$

Para el caso de 95% de confianza: usando la tabla de la distribución normal, determinamos que Z* = 1.96. Por lo tanto el intervalo de confianza es:

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2')}{250} }$

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{250} }$

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.2(0.8)}{250} }$

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.16}{250} }$

0.2±1.96*0.025

(0.151,0.249)

Si observamos lo observado es un intervalo de confianza no se puede afirmar que el 15% los estudiantes viven en una universidad.

b) Determine con un 99% de confianza, entre que valores estará la verdadera proporción de estudiantes que viven en una pensión en la universidad.

Usamos el intervalo de confianza: para este caso Z* =2.576. Por lo tanto el intervalo de confianza es:

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2')}{250} }$

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{250} }$

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.2(0.8)}{250} }$

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.16}{250} }$

0.2±2.576*0.025

(0.1356,0.2644)

Podemos afirmar con un 99% de confianza que del 13.56% al 26.44% de los estudiantes viven en una pensión.