AYUDA POR FAVOR
plantea un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas para cada situación y resuelvalo por método gráfico o método de sustitución.
A. hallar la medida de los ángulos agudos del triangulo, si la diferencia entre ellos es 34º
B. una empresa reunió en una semana 45000 monedas de $200 y $500, si el total de dinero colectado fue de $19.500.000. ¿cuantas monedas de cada denominación reunieron?
C. juliana compro 9 postales entre grandes y pequeñas para enviarles a sus amigos. le costaron $30.000. el precio de las pequeñas es de $2.500 y el de las grandes es de$4.000. ¿cuantas postales de cada clase compro juliana?
D. una familia de 5 personas viaja de vacaciones a una ciudad de estados unidos. el hotel cobra 14 dolares por la habitación de cada niño y 24 dolares por la habitación de cada adulto. si en total pagaron 100 dolares cada noche. ¿cuantos niños y cuantos adultos se hospedaron?
E. el perímetro de un rectángulo mide 158mm. si el largo mide 35mm mas que el ancho. ¿cual es la medida del ancho?
Respuestas
Respuesta:
A) Los ángulos agudos a y b de ese triángulo rectángulo (ver gráfico 1) miden a = 62° y b = 28°.
B) La empresa reunió 10.000 monedas de $200 y 35.000 monedas de $500.
C) Juliana compró 5 postales grandes y 4 postales chicas.
D) Se hospedaron 2 adultos y 3 chicos.
E) El ancho del rectángulo es igual a 22mm
A) Dado que el planteo de la pregunta nos pide resolver el problema con un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas, debemos considerar que el triángulo es un triángulo rectángulo, ya que de ser otro tipo de triángulo, sería necesario formar un sistema de ecuaciones lineales de 3 incógnitas.
1. Para todo triángulo, la suma de sus ángulos internos es:
a + b + c = 180°
2. Considerando este un triángulo rectángulo, obtenemos que:
c = 90°
3. Considerando que la diferencia de medida entre los ángulos agudos del triángulo, es 34° obtenemos que:
a – b = 34°
a = 34° + b
4. Sustituimos los valores de los pasos 2 y 3 en la fórmula del paso 1 para obtener
a + b + c = 180° -> sustituimos a por el valor del paso 3
(34° + b) + b + c = 180° -> simplificamos y sustituimos c por el valor del paso 2
34° + 2.b + 90° = 180°
2.b = 180°-90°-34°
2.b = 56°
b = 28°
5. Reemplazo el valor calculado de b en la formula del paso 3 para calcular el valor del ángulo a
a = 34° + b -> sustituimos b por el valor calculado en el paso 4
a = 34° + 28°
a = 62°
(ver gráfico 1)
B) Si definimos como ‘X’ a la cantidad de monedas de $200 e ‘Y’ a la cantidad de monedas de $500. Nota: usaremos como signo de multiplicar el ‘.’ para evitar confusión con la variable y no usaremos separador de miles (ej 1.000 se verá como 1000)
1. en base a la premisa “una empresa reunió en una semana 45000 monedas de $200 y $500” podemos obtener la siguiente relación:
X + Y = 45.000
Y = 45.000 - X
2. Considerando la premisa “si el total de dinero colectado fue de $19.500.000” podes definir que:
$200.X + $500.Y = $19.500.000
3. Reemplazamos la ecuación obtenida en el paso 1 en la ecuación obtenida en el paso 2 para obtener
200.X + 500.Y = 19500000 -
200.X + 500.(45000 – X) = 19500000
200.X + 500 . 45000 - 500.X = 19500000
200.X - 500.X + 22500000 = 19500000
-300.X +22500000-22500000 = 19500000 – 22500000
-300.X = - 3000000
X = -3000000 / -300
X = 10000
4. Reemplazo el valor obtenido de X en la ecuación del paso 1 para calcular Y
Y = 45000 – X
Y = 45000 – 10000
Y = 35000
5. Para verificar, reemplaza los valores de X e Y en la ecuación del paso 2.
C) Si definimos como ‘X’ a la cantidad de postales grandes e ‘Y’ a la cantidad de postales chicas.
1. En base a la premisa “juliana compro 9 postales entre grandes y pequeñas para enviarles a sus amigos” podemos definir la siguiente ecuación
X + Y = 9
X = 9 - Y
2. En base a la premisa “le costaron $30.000. el precio de las pequeñas es de $2.500 y el de las grandes es de$4.000” podemos definir la siguiente ecuación:
$4000.X + $2500.Y = $30000
3. Reemplazo en la ecuación del paso 2 el valor de X calculado en el paso 1
$4000.X + $2500.Y = $30000
$4000.(9 - Y) + $2500.Y = $30000
$4000 . 9 - $4000.Y + $2500.Y = $30000
$36000 - $1500.Y = $30000
Y = ($30000 - $36000) / (-$1500)
Y = 4
4. Reemplazo el valor de Y en la ecuación del paso 1 para despejar X
X = 9 - Y
X = 9 - 4
X = 5
5. Para verificar, reemplaza los valores de X e Y en la ecuación del paso 2
D) Si definimos como ‘X’ a la cantidad de adultos e ‘Y’ a la cantidad de niños.
1. En base a la premisa “una familia de 5 personas viaja de vacaciones a una ciudad de estados unidos” podemos definir la siguiente ecuación
X + Y = 5
X = 5 - Y
2. En base a la premisa “el hotel cobra 14 dólares por la habitación de cada niño y 24 dólares por la habitación de cada adulto y en total pagaron 100 dólares cada noche” podemos definir la siguiente ecuación:
$24.Y + $14.X = $100
3. Reemplazo en la ecuación del paso 2 el valor de X calculado en el paso 1
$24.Y + $14.X = $100
$24.Y + $14.(5 - Y) = $100
$24.Y + $70 - $14.Y = $100
$10.Y + $70 = $100
$10.Y = $30
Y = 3
4. Reemplazo el valor de Y en la ecuación del paso 1 para despejar X
X = 5 - Y
X = 5 - 3
X = 2
5. Para verificar, reemplaza los valores de X e Y en la ecuación del paso 2
E) Si definimos como ‘X’ el largo del rectángulo e ‘Y’ al ancho del rectángulo.
1. En base a la premisa “el perímetro de un rectángulo mide 158mm” podemos definir la siguiente ecuación
X + Y + X + Y = 158
2.X + 2.Y = 158
2.Y = (158 - 2.X)
2. En base a la premisa “si el largo mide 35mm más que el ancho” podemos definir la siguiente ecuación:
X = Y + 35
3. Reemplazo en la ecuación del paso 1 el valor de X calculado en el paso 2
2.Y = 158 - 2.X
2.Y = 158 - 2.(Y+35)
2.Y = 158 - 2.Y – 70
4.Y = 158 - 70
Y = 22
4. Reemplazo el valor de Y en la ecuación del paso 2 para despejar X
X = Y + 35
X = 22 + 35
X = 57
5. Para verificar, reemplaza los valores de X e Y en la ecuación del paso 1
