Question

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes ∫sen^-1 (x)dx

Answer 1

Por el método de integración por partes :

∫ sen^-1 (x) dx   = x*sen^-1(x) +√(1-x²)  + C

 Desarrollo del método de integración por partes de la integral indefinida :

∫  sen^-1(x)  dx = ∫ arc sen(x) dx

 

 ∫udv = u*v - ∫udv

 u = arc sen(x)      

 du = dx/√(1-x²)  

 dv =dx

∫dv =∫dx

  v=x

 ∫ arc sen(x) dx = arc sen(x) * x - ∫x * dx/√(1-x²)

                          = x * arc sen(x) -  ∫ x/√( 1-x²)    dx

se resuelve aparte : ∫ x/√( 1-x²)  dx     cambio de variable : w = 1-x² ;  dw= -2xdx    ; dx = -dw/2x   al sustituir resulta :

     ∫ x/ √( 1-x²)  dx =   ∫ x/√ω  *-dω/2x   = -1/2∫ dω/√ω = -1/2∫ω∧( -1/2) dω

  = -1/2*ω^(1/2) /(1/2) = -ω^(1/2) = - √( 1-x²)

Entonces , el resultado de la integral es :

  ∫  sen^-1(x) dx = x*sen^-1(x) + √ ( 1 -x² )   + C .