Question

Una mamá para poder levantarse y llevar a tiempo a sus hijos a la escuela, cuenta con un despertador, el cual consigue despertarla solo el 80% de los casos. Si escucha el despertador, la probabilidad de que lleva a tiempo a sus hijos es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5
a) Si llevó a tiempo a sus hijos a la escuela, ¿Cuál es la probabilidad de que escuchara el despertador?

Answer 1

Solución: La probabilidad de que escuchara el despertador dadado que llevo a sus hijos a tiempo es 0.8780

Explicación paso a paso:

Probabilidad condicionada:  son ejercicios de probabilidad donde se tienen dos eventos A Y B, y se quiere determinar la probabilidad de que un evento ocurra o no ocurra, conociendo si el otro evento ocurrio o no.

Notación: se dice la probabilidad de A dado B, cuya notación es: P(A|B)

Ecuación: la probabilidad de A dado b es:

$P(A|B)=\frac{P(AinterseccionB)}{P(B)}$

Además tenemos como propiedad que la probabilidad de un evento A, con respecto a otro evento B, es:

P(A)= P(A∩B)+P(A∩B')

Donde B' es el complemento de B.

Ahora, tenemos dos eventos que el despertador despierte a la mama, llamemos a este evento A, y que llegue a tiempo, llamemos  a este evento T, por lo tanto:

Como el despertador logra despertarlar el 80% de las veces:

P(A)=0.8⇒ P(A')=0.2

Si escucha el derpertardor la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.9:

P(T|A)= 0.9

En caso contrario:

P(T|A')= 0.5

Ahora:

$P(T|A)=\frac{P(AinterseccionT)}{P(A)}$

Despejando:

P(T|A)*P(A)=P(A∩T)

⇒P(A∩T)= 0.9*0.8=0.72

Por otro lado:

$P(T|A')=\frac{P(A'interseccionT)}{P(A')}$

Despejando:

P(T|A')*P(A')=P(A'∩T)

⇒P(A'∩T)= 0.5*0.2=0.1

De la propiedad dada, en un comienzo, tenemos:

P(T)= P(T∩A)+P(T∩A')

⇒P(T)= 0.72+0.1= 0.82

Por ultimo:

a) Si llevó a tiempo a sus hijos a la escuela, ¿Cuál es la probabilidad de que escuchara el despertador?

$P(A|T)=\frac{P(AinterseccionT)}{P(A)}$

$P(A|T)=\frac{0.72}{0.82}$ ≈ 0.8780.

La probabilidad de que escuchara el despertador dadado que llevo a sus hijos a tiempo es 0.8780