Question

Solucion Límite indeterminado trigonométrico (no usar método del l'hopital).

Answer 1

Solución: el limite $\lim_{\alpha \to 0} }\frac{3sen(\alpha) }{5\alpha}$ es igual a $\frac{3}{5}$

¿Por qué?

Teorema de Sandwich: si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)  para todo x ≠ a, y:

$\lim_{x \to a} f(x) = L=\lim_{x \to a} h(x)$ entonces:

$\lim_{x \to a} g(x) = L$ entonces:

Para resolver el limite usaremos la variable $\alpha$ en vez θ

$\lim_{\alpha \to 0} }\frac{3sen(\alpha) }{5\alpha}= \frac{3}{5} * \lim_{\alpha \to 0} }\frac{sen(\alpha) }{\alpha}$

Se puede demostrar que:

$cos(\alpha)\leq \frac{sen(\alpha)}{\alpha} \leq \frac{1}{cos(\alpha) }$

Si calculamos:

$\lim_{\alpha \to 0} cos(\alpha )= cos(0) = 1$

$\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{cos(\alpha)}= \frac{1}{cos(0)}=\frac{1}{1} =1$

Usando el teorema de sandwich queda demostrado que:

$\lim_{\alpha \to 0} }\frac{sen(\alpha) }{\alpha} = 1$

Por lo tanto:

$\lim_{\alpha \to 0} }\frac{3sen(\alpha) }{5\alpha}= \frac{3}{5} * \lim_{\alpha \to 0} }\frac{sen(\alpha) }{\alpha}= \frac{3}{5} *1 = \frac{3}{5}$