Question

El extremo de un péndulo recorre un arco de 500 mm en su primer balanceo. Si en cada balanceo recorre los 7 / 8 de la longitud de balanceo anterior, ¿cuál es la distancia recorrida por el extremo del péndulo al final del cuarto, octavo y doceavo desplazamiento? ¿Cuál es la distancia recorrida hasta el quince avo desplazamiento?

Answer 1

Tarea:

El extremo de un péndulo recorre un arco de 500 mm en su primer balanceo. Si en cada balanceo recorre los 7 / 8 de la longitud de balanceo anterior,

¿Cuál es la distancia recorrida por el extremo del péndulo al final del cuarto, octavo y doceavo desplazamiento?

¿Cuál es la distancia recorrida hasta el quinceavo desplazamiento?

Respuesta:

• Distancia en el 4º desplazamiento = 335 mm.
• Distancia en el 8º desplazamiento = 196 mm.
• Distancia en el 12º desplazamiento = 115 mm.
• Distancia total después del 15º desplazamiento = 3.461 mm.

Explicación paso a paso:

Ahí se forma una progresión geométrica (PG) que es una sucesión de términos donde cada uno se obtiene a partir de multiplicar el término anterior por un número llamado razón "r".

En este caso, el primer término de la PG es el arco recorrido en el primer balanceo,  a₁ = 500 mm.

La razón de la PG es la fracción por la que hay que multiplicar para saber el recorrido del balanceo siguiente, es decir,  r = 7/8

Lo que nos está pidiendo en el primer apartado es saber el valor de los términos que ocupan el 4º  (a₄) , el 8º (a₈) y el 12º  (a₁₂)  lugares, es decir, el recorrido de los balanceos que corresponden a esos lugares.

Para ello se acude a la fórmula del término general de cualquier PG que dice:   $a_n=a_1*r^{n-1}$

Y "n" es el número de orden que ocupa cada término en la PG de tal modo que

• Para el 4º término (a₄) , n=4
• Para el 8º término (a₈) , n=8
• Para el 4º término (a₁₂) , n=12

Aplico la fórmula para cada término:

$a_4=500*(7/8)^{4-1} =500*\dfrac{343}{512} =335\  mm.\\ \\ \\ a_8=500*(7/8)^{8-1} =500*\dfrac{823543}{2097152} =196\ mm.\\ \\ \\ a_{12} =500*(7/8)^{12-1} =500*\dfrac{1977326743}{8589934592} =115\ mm$

Estos resultados son desechando decimales.

Para el segundo apartado es necesario hallar el valor del término nº 15, es decir  a₁₅  para después usar la fórmula de suma de términos ya que aquí nos está pidiendo la distancia recorrida en total por todos los balanceos y eso implica tener que sumar todas las distancias.

Recurro de nuevo a la fórmula anterior para calcular el valor de ese término:

$a_{15} =500*(7/8)^{15-1} =500*\dfrac{678223072849}{4398046511104} =77\ mm.$

Se usa la fórmula de suma de "n" términos de una PG que dice:

$S_n=\dfrac{a_n*r\ -a_1}{r-1} \\ \\ \\ S_{15} =\dfrac{77*(7/8)\ -500}{(7/8)-1} =\dfrac{\dfrac{539}{8}-500 }{-\dfrac{1}{8} } =\dfrac{-\dfrac{3461}{8} }{-\dfrac{1}{8}}=3.461\ mm.$

Saludos.