Question

Hola, me podrían ayudar con esta integral por fracciones parciales, por favor:
$\int\ {\frac{x^{2}-3x+7 }{(x^{2}-4x+6 )^{2} } } \, dx$

Answer 1

Respuesta:

$\int\limits {\frac{x^2-3x+7}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx=\frac{\sqrt{2}}{2}arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}})-\frac{1}{2(x^2-4x+6)}+\frac{3\sqrt{2}}{8}arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}})+\frac{3\sqrt{2}}{16}sin(2arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}}))+C$

$\int\limits {\frac{x^2-3x+7}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx=\frac{7\sqrt{2}}{8}arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}})-\frac{1}{2(x^2-4x+6)}+\frac{3\sqrt{2}}{16}sin(2arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}}))+C$

Explicación paso a paso:

Lo primero sería verificar si el término dentro del paréntesis en el denominador se puede factorizar, es decir, ver si $x^2-4x+6$ tiene una forma más sencilla de escribirse. Desafortunadamente no hay números reales que sumados den -4 y multiplicados 6.

Al final tenemos un caso de factores cuadráticos irreductibles repetidos, es decir que la fracción se puede reescribir en fracciones parciales del siguiente modo:

$\frac{x^2-3x+7}{(x^2-4x+6)^2}=\frac{Ax+B}{x^2-4x+6}+\frac{Cx+D}{(x^2-4x+6)^2}$

Tenemos que encontrar los términos A, B, C y D que desconocemos. Para eso operamos la ecuación anterior:

$x^2-3x+7=(x^2-4x+6)^2(\frac{Ax+B}{x^2-4x+6}+\frac{Cx+D}{(x^2-4x+6)^2})$

$x^2-3x+7=(x^2-4x+6)(Ax+B)+Cx+D$

$x^2-3x+7=Ax^3-4Ax^2+6Ax+Bx^2-4Bx+6B+Cx+D$

$x^2-3x+7=Ax^3+(B-4A)x^2+(6A-4B+C)x+6B+D$

Igualamos los coeficientes que acompañen a la variables x de igual grado de lado y lado de la ecuación. Es decir, la primera relación que obtenemos es:

$A=0$ porque no hay términos cúbicos al otro lado de la ecuación

La segunda relación es:

$B-4A=1$

$B-4(0)=1$

$B=1$

La tercera es:

$6A-4B+C=-3$

$6(0)-4(1)+C=-3$

$-4+C=-3$

$C=-3+4$

$C=1$

La cuarta es:

$6B+D=7$

$6(1)+D=7$

$6+D=7$

$D=7-6$

$D=1$

Así:

$\frac{x^2-3x+7}{(x^2-4x+6)^2}=\frac{1}{x^2-4x+6}+\frac{x+1}{(x^2-4x+6)^2}$

$\int\limits {\frac{x^2-3x+7}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx=\int\limits {(\frac{1}{x^2-4x+6}+\frac{x+1}{(x^2-4x+6)^2})} \, dx$

$\int\limits {\frac{1}{x^2-4x+6}} \, dx+\int\limits {\frac{x+1}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx$

Resolvamos la primera integral. Completemos el trinomio cuadrado perfecto en su divisor

$\int\limits {\frac{1}{x^2-4x+6+4-4}} \, dx$

$\int\limits {\frac{1}{(x-2)^2+2}} \, dx$

Hagamos x-2=u ⇒ dx=du

$\int\limits {\frac{1}{u^2+2}} \, du$

y ahora u=$\sqrt{2}$v ⇒ du = $\sqrt{2}$dv

$\int\limits {\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}v)^2+2}} \, dv$

$\sqrt{2}\int\limits {\frac{1}{2v^2+2}} \, dv$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits {\frac{1}{v^2+1}} \, dv$

Esta integral se sabe que su resultado es el arctan:

$\frac{\sqrt{2}}{2}arctan(v)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}arctan(\frac{u}{\sqrt{2}})$

$\frac{\sqrt{2}}{2}arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}})$

Ahora le segunda integral. Hagamos $x^2-4x+6=u$ ⇒ $(2x-4)dx=du$ que podemos escribir como $(x-2)dx=\frac{du}{2}$

$\int\limits {\frac{x+1+2-2}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx$

$\int\limits {\frac{x-2+3}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx$

Mira que toca partir esta integral en otras 2

$\int\limits {\frac{x-2}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx+\int\limits {\frac{3}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx$

$\frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{u^2}} \, du+3\int\limits {\frac{1}{(x^2-4x+6)^2}} \, dx$

La primera integral ahora es sencilla de resolver

$-\frac{1}{2u}$

$-\frac{1}{2(x^2-4x+6)}$

En la segunda completemos el trinomio como hicimos antes:

$3\int\limits {\frac{1}{((x-2)^2+2)^2}} \, dx$

x-2=u ⇒ dx=du

$3\int\limits {\frac{1}{(u^2+2)^2}} \, du$

u=$\sqrt{2}$v ⇒ du = $\sqrt{2}$dv

$3\int\limits {\frac{\sqrt{2}}{((\sqrt{2}v)^2+2)^2}} \, dv$

$3\sqrt{2}\int\limits {\frac{1}{(2v^2+2)^2}} \, dv$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\int\limits {\frac{1}{(v^2+1)^2}} \, dv$

Hagamos v=tan(w) ⇒ dv=$sec^{2}(w)dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\int\limits {\frac{sec^{2}(w)}{(tan^2(w)+1)^2}} \, dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\int\limits {\frac{sec^{2}(w)}{(sec^2(w))^2}} \, dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\int\limits {\frac{sec^{2}(w)}{sec^4(w)}} \, dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\int\limits {cos^{2}(w)} \, dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\int\limits {\frac{1+cos(2w)}{2}} \, dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{8}\int\limits {1+cos(2w)} \, dw$

$\frac{3\sqrt{2}}{8}(w+\frac{1}{2}sin(2w))$

$\frac{3\sqrt{2}}{8}w+\frac{3\sqrt{2}}{16}sin(2w)$

$\frac{3\sqrt{2}}{8}arctan(v)+\frac{3\sqrt{2}}{16}sin(2arctan(v))$

$\frac{3\sqrt{2}}{8}arctan(\frac{u}{\sqrt{2}})+\frac{3\sqrt{2}}{16}sin(2arctan(\frac{u}{\sqrt{2}}))$

$\frac{3\sqrt{2}}{8}arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}})+\frac{3\sqrt{2}}{16}sin(2arctan(\frac{x-2}{\sqrt{2}}))$