Question

Introducimos una esfera en un prisma recto de base cuadrada de manera que la esfera es tangente a las 6 caras del prisma en el punto central de cada una de ellas. Exprese el espacio que queda entre la esfera y el prisma en funcion de las aristas del prisma

Answer 1

De entrada se puede deducir algo obvio: si el prisma es recto y de base cuadrada y la esfera es TANGENTE a todas sus caras, a las 6 caras, estamos ante un prisma muy particular que se llama cubo o hexaedro. Como un dado de parchís.

Con eso claro, lo que hay que darse cuenta también es que la arista del cubo coincidirá con el diámetro de la esfera, ok? y de ahí se deduce que la mitad de la arista será el radio de la esfera, es decir, a/2 = r

Para expresar el espacio que queda entre esfera y prisma hay que hallar el volumen de los dos poliedros y restar el volumen de la esfera del volumen del prisma.

Volumen Prisma = Arista al cubo = a³

Volumen de la esfera = (4/3)·π·r³ ... como sabemos que r = a/2, sustituyo en la fórmula y tengo...
Volumen esfera = 4·π·(a/2)³ / 3 = 4·π·(a³/8) / 3 = 4·π·a³ / 24 = π·a³ / 6

Restando las áreas queda esto:

a³ - (π·a³ / 6) ... sacando factor común de a³ ... = a³·[1 - (π/6)]

Y ahí tienes la respuesta a la pregunta del ejercicio.

Saludos.