Un mismo objeto se deja caer en el vacío y en el aire. ¿Qué parametros varían (distancia, velocidad,aceleración)y cuales permanecen constantes durante la caída?
a) en el vacío
b) en el aire cuando se ha alcanzado la velocidad terminal debido a la resistencia del aire
Respuestas
En realidad cambian todos
si cae en el vacio no hay rozamiento y la única fuerza presente es la de la gravedad, es decir la única fuerza será f = m*g (la fuerza es constante e igual a la masa multiplicada por la gravedad)
y por la ley de newton:
f = m*a =>
m*g = m*a => a = g (constante)
y como la a celeración es constante e igual a g, el movimiento es un mrua con aceleración igual g, es decir se cumple::
d = 1/2gt2
v = gt
a = g (constante)
en resumen el objeto acelerará constantemente durante toda la caida
pero si hay rozamiento habrá además una fuerza de rozamiento frenando la caida, y dicha fuerza en el caso más simple (flujo de aire laminar, no turbulento) será proporcional a la velocidad, es decir, por newton tendremos:
f - fr = m*a
y sustituyendo f = m*g y fr = k*v (siendo k la constante de rozamiento)
m*g - k*v = m*a
es decir que ahora ya no tenemos un mrua sino un movimiento con aceleración decreciente, de tal forma que al principio, cuando v=0, a=g, pero a medida que aumente la velocidad la aceleración irá disminuyendo hasta que la caida se estabilice, la aceleración se haga 0 y la velocidad llegue a la velocidad límite, vlim, y se estabilice la caida
cuando lleguemos a la vlim, la aceleración será cero, luego podemos calcular vlim facilmente:
m*g - k*vlim = 0 => vlim = m*g/k
así que la vlim será mayor cuanto más grande sea la masa del objeto y menor el coeficiente de rozamiento
respecto a las expresiones de v (velocidad), a (aceleración) y d (distancia), tenemos que resolver la ecuación diferencial:
m*g - k*v = m*a =>
m*g - k*v = m*dv/dt
la forma general de la solución será:
v = V*[1-e^(-ct)] siendo V y c constantes:
derivando esta expresión de v:
a =dv/dt = V*c*e^(-ct)
y sustituyendo en la ecuación diferencial:
m*g - k*v = m*dv/dt =>
m*g - k*V*[1-e^(-ct)] = m*V*c*e^(-ct)
haciendo t= infinito, e^(-ct) = 0, y obtenemos V:
m*g - k*V*[1-0] = m*V*c*0 =>
m*g - k*V = 0 =>
V = m*g/k, es cecir V es la vlim que habíamos calculado antes
y haciendo t = 0, entonces e^(-ct) = 1, y tenemos:
m*g - k*V*(1-e^(-ct)) = m*V*c*e^(-ct) =>
m*g - k*V*(1-1) = m*V*c*1 =>
m*g = m*(m*g/k)*c
dividiendo entre m*g en ambos lados:
1 = m/k*c =>
c = k/m
así que finalmente nos queda:
v = m*g/k*[1 - e^(-k/m*t)] =>
v = vlim*[1 - e^(-k/m*t)]
es decir v empieza en cero y aumenta constantemente cada vez más despacio tendiendo a vlim
a = m*g/k*k/m*e^(-k/m*t) =>
a = g*e^(-k/m*t)
es decir la aceleración desciende constantemente empezando en g y tendiendo a cero
y para calcular la fórmula de la distancia tendremos que integrar v:
d = integral (v) =>
d = vlim*t + vlim*m/k*e^(-k/m*t) + K siendo K una constante
y finalmente, considerando que en t=0 la distancia recorrida es cero y que en t=0, e^(-k/m*0) = e^0 = 1, la constante K cumplirá:
0 = vlim*m/k + K => K = -vlim*m/k
es decir la expresión de d será:
d = vlim*t + vlim*m/k*e^(-k/m*t) - vlim*m/k =>
d = vlim*t - vlim*m/k*[1 - e^(-k/m*t)]
Saludos! JBarnett