Question

Calcule la arista y el volumen de un tetraedro regular cuya superficie total es de 100 cm2

Answer 1

Explicación paso a paso:

El área de un tetraedro regular es igual a A = 4Ac, donde Ac es el área de una de sus caras entonces:

$100=4Ac$

$\frac{100}{4}=Ac$

$Ac=25$

Sabemos ahora que el área de una cara del tetraedro es 25 cm2. La fórmula de área para un triángulo es:

$Ac=(L*H)/2$

La L es un lado del triángulo

La H de altura se puede hallar con teorema de pitágoras:

$L^{2}=H^{2}+(L/2)^{2}$

$L^{2}-(L/2)^{2}=H^{2}$

$L^{2}-L^2/4=H^{2}$

$L^{2}(1-1/4)=H^{2}$

$H^{2}=L^{2}(3/4)$

$H=\frac{\sqrt{3}}{2}L$

Reemplacemos H en la anterior ecuación:

$Ac=(L*\frac{\sqrt{3}}{2}L)/2$

$Ac=\frac{\sqrt{3}}{2}L^2/2$

$Ac=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2$

Despejamos L

$25=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2$

$\frac{25*4}{\sqrt{3}}=L^2$

$L=\frac{10}{3}$

Entonces una arista del tetraedro mide 10/3 cm2

El volumen del tetraedro regular se calcula como:

$V=\frac{\sqrt{2}}{12}*L^{3}$

$V=\frac{\sqrt{2}}{12}*(\frac{10}{3})^{3}$

$V=\frac{250\sqrt{2}}{81}$

$V=4.3648 cm3$