Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:
Respuestas
La carga del circuito es: q(t) = 5/2(e^-t) + 1/2(e^-5t) +2u(t). y la corriente es: i(t) = -5/2e^-t -5/2e^-5t
Explicación paso a paso:
Datos del enunciado:
- R= 12 Ω.
- C = 0.1 F.
- L= 2 H.
- V = 20 V.
Formando un circuito RLC, conociendo que el capacitor está descargado inicialmente.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito RLC obtenemos que:
E(t) = Ldi/dt + iR+i/c(q)
Sabemos que i= dq/dt, de tal forma que:
E(t) = Ld²dq/dt²+Rdq/dt+1/c(q)
- Sustituiyendo lso valores de R , L y C:
20 = 2d²dq/dt²+12dq/dt+10(q)
Resolviendo la ecuación diferencial:
2s²+12s+10={sq(0)+q(0)}+12(0)+20/s
Sabiendo que Q(s) es la transformada de q(t), asumiendo que q(0)=0, q'(0)=0 e i(0)=0, entonces podemos reducir a:
(2s²+12s+10)Q(s)=20/s
Q(s) = 20/s(2s²+12s+10)
Desarrollamos en fracciones simples :
Factorizamos: s(2s²+12s+10) = 2s(x+1)(x+5)
Q(s) = 5/2(s+1)+1/2(s+5)+2/x
Aplicando la Inversa a la transformada de laplace:
q(t) = 5/2(e^-t) + 1/2(e^-5t) +2u(t).
Para la corriente sabemos que i(t) = dq/dt
i(t) = -5/2e^-t -5/2e^-5t
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