Respuestas
En matemáticas, la teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos, y que gracias a este desarrollo, pueden ser reducidos a problemas más sencillos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe su nombre al matemático francés Évariste Galois (1811-1832).
Aplicaciones de la teoría de Galois
El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:
¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas, etc); tal como existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?
El teorema de Abel-Ruffini que es parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no sólo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones son expresables mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.
Además la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:
¿Qué polígonos regulares son construibles mediante regla y compás?
¿Por qué no es posible la trisección de un ángulo?
El enfoque de la teoría de Galois usando el grupo de permutaciones
Si tenemos un polinomio puede suceder que algunas de sus raíces estén relacionadas mediante varias ecuaciones algebraicas, que cumplan dichas raíces. Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A2 + 5B3 = 7 sea cierta. La idea central de la teoría de Galois es el considerar aquellas permutaciones (o arreglos) de las raíces que tengan la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas sea satisfecha también tras la permutación o el arreglo. Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. (Se pueden especificar ciertos cuerpos para los coeficientes, pero en los ejemplos de abajo serán los números racionales los que usemos.)
El conjunto de tales permutaciones formarán un grupo de permutaciones, también llamado Grupo de Galois del polinomio (sobre los números racionales). Ejemplos:
Primer ejemplo: ecuación cuadrática
Sea la ecuación cuadrática
{\displaystyle x^{2}-4x+1=0} x^2 -4x +1 = 0
Mediante el uso de la fórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son
{\displaystyle A=2+{\sqrt {3}}} A = 2 + \sqrt{3}
{\displaystyle B=2-{\sqrt {3}}} B = 2 - \sqrt{3}
Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son
{\displaystyle A+B=4} A+B=4
{\displaystyle AB=1} AB=1
En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.
Concluimos que el grupo de Galois del polinomio {\displaystyle x^{2}-4x+1} x^2 -4x +1 consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y B invariantes, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.
Podríamos plantear la objeción de que existe esta otra ecuación satisfecha por A y B:
(A, B, C, D) → (A, C, B, D).
Continuando de esta manera, podemos encontrar que las únicas permutaciones que satisfacen las dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:
(A, B, C, D) → (A, B, C, D)
(A, B, C, D) → (C, D, A, B)
(A, B, C, D) → (B, A, D, C)
(A, B, C, D) → (D, C, B, A),
Se dice que una raíz α se puede expresar en radicales si α es elemento de un cuerpo K tal que {\displaystyle F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{s}=K} F = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_s = K donde {\displaystyle K_{i+1}=K_{i}({\sqrt[{n_{i}}]{a_{i}}})\,\exists \,a_{i}\in K_{i},i=0,1,\ldots ,s-i} K_{i+1} = K_i(\sqrt[n_i]{a_i}) \,\exists\, a_i \in K_i, i = 0, 1, \ldots, s-i. Una ecuación polinomial es soluble por radicales si todas sus raíces se pueden expresar en radicales.1 Con la teoría de Galois podemos derivar el siguiente teorema:
ESPERO TE SIRVA
Respuesta:
tes o tezth
Explicación: